Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ als Gleichung.

$y = \frac{3}{x - 1} + 2$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3}{y - 1} + 2$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3}{y - 1} + 2 = x$ um.

$\frac{3}{y - 1} + 2 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{3}{y - 1} = x - 2$

Schritt 3.3

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y - 1, 1, 1$

Schritt 3.3.2

Entferne die Klammern.

$y - 1, 1, 1$

Schritt 3.3.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y - 1$

Schritt 3.4

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{y - 1} = x - 2$ mit $y - 1$ um die Brüche zu eliminieren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{3}{y - 1} = x - 2$ mit $y - 1$ .

$\frac{3}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{y - 1} (y - 1) = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Schritt 3.4.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 = x (y - 1) - 2 (y - 1)$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$3 = x y + x \cdot - 1 - 2 (y - 1)$

Schritt 3.4.3.1.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$3 = x y - 1 \cdot x - 2 (y - 1)$

Schritt 3.4.3.1.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$3 = x y - x - 2 (y - 1)$

Schritt 3.4.3.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$3 = x y - x - 2 y - 2 \cdot - 1$

Schritt 3.4.3.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$3 = x y - x - 2 y + 2$

Schritt 3.5

Löse die Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.1

Schreibe die Gleichung als $x y - x - 2 y + 2 = 3$ um.

$x y - x - 2 y + 2 = 3$

Schritt 3.5.2

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.2.1

Addiere $x$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x y - 2 y + 2 = 3 + x$

Schritt 3.5.2.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x y - 2 y = 3 + x - 2$

Schritt 3.5.2.3

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$x y - 2 y = x + 1$

Schritt 3.5.3

Faktorisiere $y$ aus $x y - 2 y$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.3.1

Faktorisiere $y$ aus $x y$ heraus.

$y x - 2 y = x + 1$

Schritt 3.5.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- 2 y$ heraus.

$y x + y \cdot - 2 = x + 1$

Schritt 3.5.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y x + y \cdot - 2$ heraus.

$y (x - 2) = x + 1$

Schritt 3.5.4

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 2) = x + 1$ durch $x - 2$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (x - 2) = x + 1$ durch $x - 2$ .

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Schritt 3.5.4.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (x - 2)}{x - 2} = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Schritt 3.5.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{x - 2} + \frac{1}{x - 2}$

Schritt 3.5.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.5.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{x + 1}{x - 2}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(\frac{3}{x - 1} + 2) + 1}{(\frac{3}{x - 1} + 2) - 2}$

Schritt 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{3}{x - 1} + 2 + 1}{\frac{3}{x - 1} + 2 - 2}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{x - 1}{x - 1} \cdot \frac{\frac{3}{x - 1} + 2 + 1}{\frac{3}{x - 1} + 2 - 2}$

Schritt 5.2.3.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1} + 2 + 1)}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1} + 2 - 2)}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache durch Kürzen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x - 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{(x - 1) (\frac{3}{x - 1}) + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot 1}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.1

Stelle $x - 1$ und $1$ um.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + 2 \cdot (x - 1) + 1 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.2

Addiere $2 \cdot (x - 1)$ und $1 \cdot (x - 1)$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 + 3 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.3

Faktorisiere $3$ aus $3 + 3 \cdot (x - 1)$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 \cdot 1 + 3 \cdot (x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3 \cdot 1 + 3 \cdot (x - 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 (1 + x - 1)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.4

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 (x + 0)}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.6.5

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + (x - 1) \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + x \cdot 2 - 1 \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.7.2

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 \cdot x - 1 \cdot 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 \cdot x - 2 + (x - 1) \cdot - 2}$

Schritt 5.2.7.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 + x \cdot - 2 - 1 \cdot - 2}$

Schritt 5.2.7.5

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 - 2 \cdot x - 1 \cdot - 2}$

Schritt 5.2.7.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3 + 2 x - 2 - 2 \cdot x + 2}$

Schritt 5.2.7.7

Subtrahiere $2$ von $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{2 x + 1 - 2 x + 2}$

Schritt 5.2.7.8

Subtrahiere $2 x$ von $2 x$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{0 + 1 + 2}$

Schritt 5.2.7.9

Addiere $0$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{1 + 2}$

Schritt 5.2.7.10

Addiere $1$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3}{x - 1} + 2) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x + 1}{x - 2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{(\frac{x + 1}{x - 2}) - 1} + 2$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Vereinfache den Nenner.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.1

Um $- 1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1}{x - 2} - 1 \cdot \frac{x - 2}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.1.2

Kombiniere $- 1$ und $\frac{x - 2}{x - 2}$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1}{x - 2} + \frac{- (x - 2)}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.1.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.1.4

Schreibe $\frac{x + 1 - (x - 2)}{x - 2}$ in eine faktorisierte Form um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - x + 2}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.1.4.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{x + 1 - x + 2}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.1.4.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{0 + 1 + 2}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.1.4.4

Addiere $0$ und $1$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{1 + 2}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.1.4.5

Addiere $1$ und $2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = \frac{3}{\frac{3}{x - 2}} + 2$

Schritt 5.3.3.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = 3 (\frac{x - 2}{3}) + 2$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = 3 (\frac{x - 2}{3}) + 2$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x - 2 + 2$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x + 1}{x - 2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3}{x - 1} + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x + 1}{x - 2}$