Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ als Gleichung.

$y = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{3 - 8 y^{3}}{2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$ um.

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} = x$

Schritt 3.2

Multipliziere beide Seiten mit $2$ .

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 3.3

Vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.1.1

Vereinfache $\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 - 8 y^{3}}{2} \cdot 2 = x \cdot 2$

Schritt 3.3.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$3 - 8 y^{3} = x \cdot 2$

Schritt 3.3.1.1.2

Stelle $3$ und $- 8 y^{3}$ um.

$- 8 y^{3} + 3 = x \cdot 2$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$- 8 y^{3} + 3 = 2 x$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 8 y^{3} = 2 x - 3$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 8 y^{3} = 2 x - 3$ durch $- 8$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 8 y^{3} = 2 x - 3$ durch $- 8$ .

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 8$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 8 y^{3}}{- 8} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y^{3}$ durch $1$ .

$y^{3} = \frac{2 x}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 8$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 x$ heraus.

$y^{3} = \frac{2 (x)}{- 8} + \frac{- 3}{- 8}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 8$ heraus.

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{3} = \frac{2 x}{2 \cdot - 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y^{3} = \frac{x}{- 4} + \frac{- 3}{- 8}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{- 3}{- 8}$

Schritt 3.4.2.3.1.3

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y^{3} = - \frac{x}{4} + \frac{3}{8}$

Schritt 3.4.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$

Schritt 3.4.4

Vereinfache $\sqrt[3]{- \frac{x}{4} + \frac{3}{8}}$ .

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Schritt 3.4.4.1

Um $- \frac{x}{4}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x}{4} \cdot \frac{2}{2} + \frac{3}{8}}$

Schritt 3.4.4.2

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $8$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 3.4.4.2.1

Mutltipliziere $\frac{x}{4}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{4 \cdot 2} + \frac{3}{8}}$

Schritt 3.4.4.2.2

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$y = \sqrt[3]{- \frac{x \cdot 2}{8} + \frac{3}{8}}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \sqrt[3]{\frac{- x \cdot 2 + 3}{8}}$

Schritt 3.4.4.4

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$y = \sqrt[3]{\frac{- 2 x + 3}{8}}$

Schritt 3.4.4.5

Schreibe $\frac{- 2 x + 3}{8}$ als ${(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)$ um.

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Schritt 3.4.4.5.1

Faktorisiere die perfekte Potenz $1^{3}$ aus $- 2 x + 3$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{8}}$

Schritt 3.4.4.5.2

Faktorisiere die perfekte Potenz $2^{3}$ aus $8$ heraus.

$y = \sqrt[3]{\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}}$

Schritt 3.4.4.5.3

Ordne den Bruch $\frac{1^{3} (- 2 x + 3)}{2^{3} \cdot 1}$ um.

$y = \sqrt[3]{{(\frac{1}{2})}^{3} (- 2 x + 3)}$

Schritt 3.4.4.6

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$y = \frac{1}{2} \sqrt[3]{- 2 x + 3}$

Schritt 3.4.4.7

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ .

$y = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 2 \frac{3 - 8 x^{3}}{2} + 3}}{2}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 (- 1) (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

Schritt 5.2.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{2 \cdot (- 1 \frac{3 - 8 x^{3}}{2}) + 3}}{2}$

Schritt 5.2.3.1.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 (3 - 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 1 \cdot 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 - 1 (- 8 x^{3}) + 3}}{2}$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $- 8$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{- 3 + 8 x^{3} + 3}}{2}$

Schritt 5.2.3.5

Addiere $- 3$ und $3$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3} + 0}}{2}$

Schritt 5.2.3.6

Addiere $8 x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{8 x^{3}}}{2}$

Schritt 5.2.3.7

Schreibe $8 x^{3}$ als ${(2 x)}^{3}$ um.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{\sqrt[3]{{(2 x)}^{3}}}{2}$

Schritt 5.2.3.8

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{3 - 8 x^{3}}{2}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2})}^{3}}{2}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{- 2 x + 3}$ als ${(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 {(\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2})}^{3}}{2}$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Produktregel auf $\frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}}}{2}$ an.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}}{2^{3}}}{2}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.3.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.3.3.3.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

Schritt 5.3.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{{(- 2 x + 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}}{2^{3}}}{2}$

Schritt 5.3.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

Schritt 5.3.3.3.2

Vereinfache.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{2^{3}}}{2}$

Schritt 5.3.3.4

Potenziere $2$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 8 \frac{- 2 x + 3}{8}}{2}$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Faktorisiere $8$ aus $- 8$ heraus.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 (- 1) (\frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

Schritt 5.3.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 8 \cdot (- 1 \frac{- 2 x + 3}{8})}{2}$

Schritt 5.3.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x + 3)}{2}$

Schritt 5.3.3.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 - 1 (- 2 x) - 1 \cdot 3}{2}$

Schritt 5.3.3.7

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 1 \cdot 3}{2}$

Schritt 5.3.3.8

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{3 + 2 x - 3}{2}$

Schritt 5.3.3.9

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.3.3.10

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.3.4.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{3 - 8 x^{3}}{2}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sqrt[3]{- 2 x + 3}}{2}$