Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{4}{2 - x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{4}{2 - x}$ als Gleichung.

$y = \frac{4}{2 - x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{4}{2 - y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{4}{2 - y} = x$ um.

$\frac{4}{2 - y} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$2 - y, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$2 - y, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$2 - y$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{2 - y} = x$ mit $2 - y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{4}{2 - y} = x$ mit $2 - y$ .

$\frac{4}{2 - y} (2 - y) = x (2 - y)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2 - y$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4}{2 - y} (2 - y) = x (2 - y)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$4 = x (2 - y)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$4 = x \cdot 2 + x (- y)$

Schritt 3.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 3.3.3.2.1

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$4 = 2 \cdot x + x (- y)$

Schritt 3.3.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$4 = 2 x - x y$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $2 x - x y = 4$ um.

$2 x - x y = 4$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $2 x$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- x y = 4 - 2 x$

Schritt 3.4.3

Teile jeden Ausdruck in $- x y = 4 - 2 x$ durch $- x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.3.1

Teile jeden Ausdruck in $- x y = 4 - 2 x$ durch $- x$ .

$\frac{- x y}{- x} = \frac{4}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Schritt 3.4.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.3.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{x y}{x} = \frac{4}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Schritt 3.4.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y}{x} = \frac{4}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Schritt 3.4.3.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{4}{- x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Schritt 3.4.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{4}{x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Schritt 3.4.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = - \frac{4}{x} + \frac{- 2 x}{- x}$

Schritt 3.4.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y = - \frac{4}{x} + \frac{- 2}{- 1}$

Schritt 3.4.3.3.1.2.3

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{- 2}{- 1}$ .

$y = - \frac{4}{x} - 1 \cdot - 2$

Schritt 3.4.3.3.1.3

Schreibe $- 1 \cdot - 2$ als $- - 2$ um.

$y = - \frac{4}{x} - - 2$

Schritt 3.4.3.3.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = - \frac{4}{x} + 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{4}{2 - x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{4}{2 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - \frac{4}{\frac{4}{2 - x}} + 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - (4 (\frac{2 - x}{4})) + 2$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - (4 (\frac{2 - x}{4})) + 2$

Schritt 5.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - (2 - x) + 2$

Schritt 5.2.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - 1 \cdot 2 + x + 2$

Schritt 5.2.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - 2 + x + 2$

Schritt 5.2.3.5

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - 2 + 1 x + 2$

Schritt 5.2.3.5.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = - 2 + x + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 2 + x + 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{4}{2 - x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{4}{x} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{4}{2 - (- \frac{4}{x} + 2)}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2 - (- \frac{4}{x} + 2)$ .

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Schritt 5.3.3.1

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{4}{- 1 \cdot - 2 - (- \frac{4}{x} + 2)}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- 1 (- 2) - (- \frac{4}{x} + 2)$ heraus.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{4}{- 1 (- 2 - \frac{4}{x} + 2)}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2 \cdot 2}{- 1 (- 2 - \frac{4}{x} + 2)}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $- 1 (- 2 - \frac{4}{x} + 2)$ heraus.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (- 1 (- 1 - \frac{2}{x} + 1))}$

Schritt 5.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2 \cdot 2}{2 (- 1 (- 1 - \frac{2}{x} + 1))}$

Schritt 5.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{- 1 (- 1 - \frac{2}{x} + 1)}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{- 1 (- \frac{2}{x} + 0)}$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $- \frac{2}{x}$ und $0$ .

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{- 1 \cdot (- 1 \frac{2}{x})}$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 5.3.4.3.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

Schritt 5.3.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{1 (\frac{2}{x})}$

Schritt 5.3.4.3.3

Mutltipliziere $\frac{2}{x}$ mit $1$ .

$f (- \frac{4}{x} + 2) = \frac{2}{\frac{2}{x}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = 2 (\frac{x}{2})$

Schritt 5.3.6.2

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{4}{x} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{4}{2 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{4}{x} + 2$