Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}$ als Gleichung.

$y = \frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2 + 7 y}{3 - 4 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2 + 7 y}{3 - 4 y} = x$ um.

$\frac{2 + 7 y}{3 - 4 y} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$3 - 4 y, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$3 - 4 y, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$3 - 4 y$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 + 7 y}{3 - 4 y} = x$ mit $3 - 4 y$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{2 + 7 y}{3 - 4 y} = x$ mit $3 - 4 y$ .

$\frac{2 + 7 y}{3 - 4 y} (3 - 4 y) = x (3 - 4 y)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3 - 4 y$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 + 7 y}{3 - 4 y} (3 - 4 y) = x (3 - 4 y)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$2 + 7 y = x (3 - 4 y)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$2 + 7 y = x \cdot 3 + x (- 4 y)$

Schritt 3.3.3.2

Stelle um.

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Schritt 3.3.3.2.1

Bringe $3$ auf die linke Seite von $x$ .

$2 + 7 y = 3 \cdot x + x (- 4 y)$

Schritt 3.3.3.2.2

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$2 + 7 y = 3 x - 4 x y$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Addiere $4 x y$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$2 + 7 y + 4 x y = 3 x$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$7 y + 4 x y = 3 x - 2$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $7 y + 4 x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $7 y$ heraus.

$y \cdot 7 + 4 x y = 3 x - 2$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $4 x y$ heraus.

$y \cdot 7 + y (4 x) = 3 x - 2$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 7 + y (4 x)$ heraus.

$y (7 + 4 x) = 3 x - 2$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (7 + 4 x) = 3 x - 2$ durch $7 + 4 x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (7 + 4 x) = 3 x - 2$ durch $7 + 4 x$ .

$\frac{y (7 + 4 x)}{7 + 4 x} = \frac{3 x}{7 + 4 x} + \frac{- 2}{7 + 4 x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $7 + 4 x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (7 + 4 x)}{7 + 4 x} = \frac{3 x}{7 + 4 x} + \frac{- 2}{7 + 4 x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{3 x}{7 + 4 x} + \frac{- 2}{7 + 4 x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{3 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) - 2}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $3$ und $\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{3 (2 + 7 x)}{3 - 4 x} - 2}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.3.2

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - 4 x}{3 - 4 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{3 (2 + 7 x)}{3 - 4 x} - 2 \cdot \frac{3 - 4 x}{3 - 4 x}}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.3.3

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3 - 4 x}{3 - 4 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{3 (2 + 7 x)}{3 - 4 x} + \frac{- 2 (3 - 4 x)}{3 - 4 x}}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.3.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{3 (2 + 7 x) - 2 (3 - 4 x)}{3 - 4 x}}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.3.5

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{3 (2 + 7 x) - 2 (3 - 4 x)}{- 4 x + 3}}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.3.6

Schreibe $\frac{3 (2 + 7 x) - 2 (3 - 4 x)}{- 4 x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{3 \cdot 2 + 3 (7 x) - 2 (3 - 4 x)}{- 4 x + 3}}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.3.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{6 + 3 (7 x) - 2 (3 - 4 x)}{- 4 x + 3}}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.3.6.3

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{6 + 21 x - 2 (3 - 4 x)}{- 4 x + 3}}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.3.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{6 + 21 x - 2 \cdot 3 - 2 (- 4 x)}{- 4 x + 3}}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.3.6.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{6 + 21 x - 6 - 2 (- 4 x)}{- 4 x + 3}}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.3.6.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{6 + 21 x - 6 + 8 x}{- 4 x + 3}}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.3.6.7

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{21 x + 0 + 8 x}{- 4 x + 3}}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.3.6.8

Addiere $21 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{21 x + 8 x}{- 4 x + 3}}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.3.6.9

Addiere $21 x$ und $8 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{- 4 x + 3}}{7 + 4 (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x})}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Kombiniere $4$ und $\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{- 4 x + 3}}{7 + \frac{4 (2 + 7 x)}{3 - 4 x}}$

Schritt 5.2.4.2

Um $7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - 4 x}{3 - 4 x}$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{- 4 x + 3}}{\frac{7 (3 - 4 x)}{3 - 4 x} + \frac{4 (2 + 7 x)}{3 - 4 x}}$

Schritt 5.2.4.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{- 4 x + 3}}{\frac{7 (3 - 4 x) + 4 (2 + 7 x)}{3 - 4 x}}$

Schritt 5.2.4.4

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{- 4 x + 3}}{\frac{7 (3 - 4 x) + 4 (2 + 7 x)}{- 4 x + 3}}$

Schritt 5.2.4.5

Schreibe $\frac{7 (3 - 4 x) + 4 (2 + 7 x)}{- 4 x + 3}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{- 4 x + 3}}{\frac{7 \cdot 3 + 7 (- 4 x) + 4 (2 + 7 x)}{- 4 x + 3}}$

Schritt 5.2.4.5.2

Mutltipliziere $7$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{- 4 x + 3}}{\frac{21 + 7 (- 4 x) + 4 (2 + 7 x)}{- 4 x + 3}}$

Schritt 5.2.4.5.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $7$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{- 4 x + 3}}{\frac{21 - 28 x + 4 (2 + 7 x)}{- 4 x + 3}}$

Schritt 5.2.4.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{- 4 x + 3}}{\frac{21 - 28 x + 4 \cdot 2 + 4 (7 x)}{- 4 x + 3}}$

Schritt 5.2.4.5.5

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{- 4 x + 3}}{\frac{21 - 28 x + 8 + 4 (7 x)}{- 4 x + 3}}$

Schritt 5.2.4.5.6

Mutltipliziere $7$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{- 4 x + 3}}{\frac{21 - 28 x + 8 + 28 x}{- 4 x + 3}}$

Schritt 5.2.4.5.7

Addiere $21$ und $8$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{- 4 x + 3}}{\frac{- 28 x + 29 + 28 x}{- 4 x + 3}}$

Schritt 5.2.4.5.8

Addiere $- 28 x$ und $28 x$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{- 4 x + 3}}{\frac{0 + 29}{- 4 x + 3}}$

Schritt 5.2.4.5.9

Addiere $0$ und $29$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{- 4 x + 3}}{\frac{29}{- 4 x + 3}}$

Schritt 5.2.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{29 x}{- 4 x + 3} \cdot \frac{- 4 x + 3}{29}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $29$ .

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Schritt 5.2.6.1

Faktorisiere $29$ aus $29 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{29 (x)}{- 4 x + 3} \cdot \frac{- 4 x + 3}{29}$

Schritt 5.2.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{29 x}{- 4 x + 3} \cdot \frac{- 4 x + 3}{29}$

Schritt 5.2.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{x}{- 4 x + 3} \cdot (- 4 x + 3)$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $\frac{x}{- 4 x + 3}$ mit $- 4 x + 3$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{x (- 4 x + 3)}{- 4 x + 3}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 4 x + 3$ .

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Schritt 5.2.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = \frac{x (- 4 x + 3)}{- 4 x + 3}$

Schritt 5.2.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{2 + 7 (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x})}{3 - 4 \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1

Kombiniere $7$ und $\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{2 + \frac{7 (3 x - 2)}{7 + 4 x}}{3 - 4 \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.3.2

Um $2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 + 4 x}{7 + 4 x}$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{2 (7 + 4 x)}{7 + 4 x} + \frac{7 (3 x - 2)}{7 + 4 x}}{3 - 4 \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.3.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{2 (7 + 4 x) + 7 (3 x - 2)}{7 + 4 x}}{3 - 4 \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.3.4

Schreibe $\frac{2 (7 + 4 x) + 7 (3 x - 2)}{7 + 4 x}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.3.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{2 \cdot 7 + 2 (4 x) + 7 (3 x - 2)}{7 + 4 x}}{3 - 4 \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.3.4.2

Mutltipliziere $2$ mit $7$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{14 + 2 (4 x) + 7 (3 x - 2)}{7 + 4 x}}{3 - 4 \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.3.4.3

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{14 + 8 x + 7 (3 x - 2)}{7 + 4 x}}{3 - 4 \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.3.4.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{14 + 8 x + 7 (3 x) + 7 \cdot - 2}{7 + 4 x}}{3 - 4 \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.3.4.5

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{14 + 8 x + 21 x + 7 \cdot - 2}{7 + 4 x}}{3 - 4 \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.3.4.6

Mutltipliziere $7$ mit $- 2$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{14 + 8 x + 21 x - 14}{7 + 4 x}}{3 - 4 \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.3.4.7

Subtrahiere $14$ von $14$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{8 x + 21 x + 0}{7 + 4 x}}{3 - 4 \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.3.4.8

Addiere $8 x + 21 x$ und $0$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{8 x + 21 x}{7 + 4 x}}{3 - 4 \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.3.4.9

Addiere $8 x$ und $21 x$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{3 - 4 \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.4.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{3 + \frac{- 4 (3 x - 2)}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.4.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{3 - \frac{(4) (3 x - 2)}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.4.3

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{7 + 4 x}{7 + 4 x}$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{\frac{3 (7 + 4 x)}{7 + 4 x} - \frac{4 (3 x - 2)}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.4.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{\frac{3 (7 + 4 x) - 4 (3 x - 2)}{7 + 4 x}}$

Schritt 5.3.4.5

Stelle die Terme um.

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{\frac{3 (7 + 4 x) - 4 (3 x - 2)}{4 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.6

Schreibe $\frac{3 (7 + 4 x) - 4 (3 x - 2)}{4 x + 7}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.3.4.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{\frac{3 \cdot 7 + 3 (4 x) - 4 (3 x - 2)}{4 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.6.2

Mutltipliziere $3$ mit $7$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{\frac{21 + 3 (4 x) - 4 (3 x - 2)}{4 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.6.3

Mutltipliziere $4$ mit $3$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{\frac{21 + 12 x - 4 (3 x - 2)}{4 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.6.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{\frac{21 + 12 x - 4 (3 x) - 4 \cdot - 2}{4 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.6.5

Mutltipliziere $3$ mit $- 4$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{\frac{21 + 12 x - 12 x - 4 \cdot - 2}{4 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.6.6

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{\frac{21 + 12 x - 12 x + 8}{4 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.6.7

Addiere $21$ und $8$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{\frac{12 x - 12 x + 29}{4 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.6.8

Subtrahiere $12 x$ von $12 x$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{\frac{0 + 29}{4 x + 7}}$

Schritt 5.3.4.6.9

Addiere $0$ und $29$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{\frac{29 x}{7 + 4 x}}{\frac{29}{4 x + 7}}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{29 x}{7 + 4 x} \cdot \frac{4 x + 7}{29}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $29$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $29$ aus $29 x$ heraus.

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{29 (x)}{7 + 4 x} \cdot \frac{4 x + 7}{29}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{29 x}{7 + 4 x} \cdot \frac{4 x + 7}{29}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{x}{7 + 4 x} \cdot (4 x + 7)$

Schritt 5.3.7

Mutltipliziere $\frac{x}{7 + 4 x}$ mit $4 x + 7$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{x (4 x + 7)}{7 + 4 x}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 x + 7$ und $7 + 4 x$ .

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Schritt 5.3.8.1

Stelle die Terme um.

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{x (4 x + 7)}{4 x + 7}$

Schritt 5.3.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = \frac{x (4 x + 7)}{4 x + 7}$

Schritt 5.3.8.3

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{3 x - 2}{7 + 4 x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2 + 7 x}{3 - 4 x}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x - 2}{7 + 4 x}$