Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2}{3} x + 6$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{2}{3} x + 6$ als Gleichung.

$y = \frac{2}{3} x + 6$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{2}{3} y + 6$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{2}{3} y + 6 = x$ um.

$\frac{2}{3} y + 6 = x$

Schritt 3.2

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $y$ .

$\frac{2 y}{3} + 6 = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\frac{2 y}{3} = x - 6$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $\frac{3}{2}$ .

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3}$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3}{2} \cdot \frac{2 y}{3} = \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 y$ heraus.

$\frac{1}{2} (2 (y)) = \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{1}{2} (2 y) = \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3}{2} (x - 6)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $\frac{3}{2} (x - 6)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{3}{2} x + \frac{3}{2} \cdot - 6$

Schritt 3.5.2.1.2

Kombiniere $\frac{3}{2}$ und $x$ .

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot - 6$

Schritt 3.5.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.5.2.1.3.1

Faktorisiere $2$ aus $- 6$ heraus.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 (- 3))$

Schritt 3.5.2.1.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{3 x}{2} + \frac{3}{2} \cdot (2 \cdot - 3)$

Schritt 3.5.2.1.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{3 x}{2} + 3 \cdot - 3$

Schritt 3.5.2.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$y = \frac{3 x}{2} - 9$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - 9$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - 9$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{2}{3} x + 6$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{3 (\frac{2}{3} x + 6)}{2} - 9$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Kombiniere $\frac{2}{3}$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{3 (\frac{2 x}{3} + 6)}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $2$ aus $\frac{2 x}{3} + 6$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $\frac{2 x}{3}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{3 (2 (\frac{x}{3}) + 6)}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{3 (2 (\frac{x}{3}) + 2 \cdot 3)}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Faktorisiere $2$ aus $2 \frac{x}{3} + 2 \cdot 3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{3 (2 (\frac{x}{3} + 3))}{2} - 9$

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{3 \cdot (2 (\frac{x}{3} + 3))}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.1.3

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{6 (\frac{x}{3} + 3)}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.1.4

Um $3$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{6 (\frac{x}{3} + 3 \cdot \frac{3}{3})}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.1.5

Kombiniere $3$ und $\frac{3}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{6 (\frac{x}{3} + \frac{3 \cdot 3}{3})}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.1.6

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{6 (\frac{x + 3 \cdot 3}{3})}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.1.7

Mutltipliziere $3$ mit $3$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{6 (\frac{x + 9}{3})}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.2

Kombiniere $6$ und $\frac{x + 9}{3}$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{\frac{6 (x + 9)}{3}}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{6 (x + 9)}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 (x + 9)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{\frac{3 (2 (x + 9))}{3}}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{\frac{3 (2 (x + 9))}{3 (1)}}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{\frac{3 (2 (x + 9))}{3 \cdot 1}}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{\frac{2 (x + 9)}{1}}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.3.2

Dividiere $2 (x + 9)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{2 (x + 9)}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = \frac{2 (x + 9)}{2} - 9$

Schritt 5.2.3.4.2

Dividiere $x + 9$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = x + 9 - 9$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 9 - 9$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $9$ von $9$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{2}{3} x + 6) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{3 x}{2} - 9)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{3 x}{2} - 9) = \frac{2}{3} \cdot (\frac{3 x}{2} - 9) + 6$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{3 x}{2} - 9) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{2}{3} \cdot - 9 + 6$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} - 9) = \frac{2}{3} \cdot \frac{3 x}{2} + \frac{2}{3} \cdot - 9 + 6$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} - 9) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{2}{3} \cdot - 9 + 6$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2} - 9) = \frac{1}{3} \cdot (3 (x)) + \frac{2}{3} \cdot - 9 + 6$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} - 9) = \frac{1}{3} \cdot (3 x) + \frac{2}{3} \cdot - 9 + 6$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} - 9) = x + \frac{2}{3} \cdot - 9 + 6$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $3$ aus $- 9$ heraus.

$f (\frac{3 x}{2} - 9) = x + \frac{2}{3} \cdot (3 (- 3)) + 6$

Schritt 5.3.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{3 x}{2} - 9) = x + \frac{2}{3} \cdot (3 \cdot - 3) + 6$

Schritt 5.3.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{3 x}{2} - 9) = x + 2 \cdot - 3 + 6$

Schritt 5.3.3.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 3$ .

$f (\frac{3 x}{2} - 9) = x - 6 + 6$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 6 + 6$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 6$ und $6$ .

$f (\frac{3 x}{2} - 9) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{3 x}{2} - 9) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - 9$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{2}{3} x + 6$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{3 x}{2} - 9$