Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = {(x - 16)}^{3} - 11$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = {(x - 16)}^{3} - 11$ als Gleichung.

$y = {(x - 16)}^{3} - 11$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = {(y - 16)}^{3} - 11$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als ${(y - 16)}^{3} - 11 = x$ um.

${(y - 16)}^{3} - 11 = x$

Schritt 3.2

Addiere $11$ zu beiden Seiten der Gleichung.

${(y - 16)}^{3} = x + 11$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y - 16 = \sqrt[3]{x + 11}$

Schritt 3.4

Addiere $16$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt[3]{x + 11} + 16$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 11} + 16$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 11} + 16$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(x - 16)}^{3} - 11$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = \sqrt[3]{({(x - 16)}^{3} - 11) + 11} + 16$

Schritt 5.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt[3]{({(x - 16)}^{3} - 11) + 11} + 16$ .

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Schritt 5.2.3.1

Addiere $- 11$ und $11$ .

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = \sqrt[3]{{(x - 16)}^{3} + 0} + 16$

Schritt 5.2.3.2

Addiere ${(x - 16)}^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = \sqrt[3]{{(x - 16)}^{3}} + 16$

Schritt 5.2.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = x - 16 + 16$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 16 + 16$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 16$ und $16$ .

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = x + 0$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 16)}^{3} - 11) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{x + 11} + 16)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {((\sqrt[3]{x + 11} + 16) - 16)}^{3} - 11$

Schritt 5.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${((\sqrt[3]{x + 11} + 16) - 16)}^{3} - 11$ .

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Schritt 5.3.3.1

Subtrahiere $16$ von $16$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {(\sqrt[3]{x + 11} + 0)}^{3} - 11$

Schritt 5.3.3.2

Addiere $\sqrt[3]{x + 11}$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {\sqrt[3]{x + 11}}^{3} - 11$

Schritt 5.3.4

Schreibe ${\sqrt[3]{x + 11}}^{3}$ als $x + 11$ um.

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Schritt 5.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x + 11}$ als ${(x + 11)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {({(x + 11)}^{\frac{1}{3}})}^{3} - 11$

Schritt 5.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {(x + 11)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} - 11$

Schritt 5.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {(x + 11)}^{\frac{3}{3}} - 11$

Schritt 5.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = {(x + 11)}^{\frac{3}{3}} - 11$

Schritt 5.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = (x + 11) - 11$

Schritt 5.3.4.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = x + 11 - 11$

Schritt 5.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 11 - 11$ .

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Schritt 5.3.5.1

Subtrahiere $11$ von $11$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = x + 0$

Schritt 5.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{x + 11} + 16) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 11} + 16$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(x - 16)}^{3} - 11$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x + 11} + 16$