Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ als Gleichung.

$y = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Multipliziere die Gleichung mit $y^{2} + y - 2$ .

$(y^{2} + y - 2) (x) = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Schritt 3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} x + y x - 2 x = (\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$

Schritt 3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.1

Vereinfache $(\frac{y^{2} + 2 y + 1}{y^{2} + y - 2}) (y^{2} + y - 2)$ .

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Schritt 3.3.1.1

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 3.3.1.1.1

Schreibe $1$ als $1^{2}$ um.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 y + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Schritt 3.3.1.1.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$2 y = 2 \cdot y \cdot 1$

Schritt 3.3.1.1.3

Schreibe das Polynom neu.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{y^{2} + 2 \cdot y \cdot 1 + 1^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Schritt 3.3.1.1.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} + 2 a b + b^{2} = {(a + b)}^{2}$ , wobei $a = y$ und $b = 1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{y^{2} + y - 2} (y^{2} + y - 2)$

Schritt 3.3.1.2

Faktorisiere $y^{2} + y - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.1.2.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 3.3.1.2.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)} (y^{2} + y - 2)$

Schritt 3.3.1.3

Mutltipliziere $\frac{{(y + 1)}^{2}}{(y - 1) (y + 2)}$ mit $y^{2} + y - 2$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y^{2} + y - 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Schritt 3.3.1.4

Faktorisiere $y^{2} + y - 2$ unter der Verwendung der AC-Methode.

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Schritt 3.3.1.4.1

Betrachte die Form $x^{2} + b x + c$ . Finde ein Paar ganzer Zahlen, deren Produkt $c$ und deren Summe $b$ ist. In diesem Fall, deren Produkt $- 2$ und deren Summe $1$ ist.

$- 1, 2$

Schritt 3.3.1.4.2

Schreibe die faktorisierte Form mithilfe dieser Ganzzahlen.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} ((y - 1) (y + 2))}{(y - 1) (y + 2)}$

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Schritt 3.3.1.5

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.1.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y - 1$ .

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Schritt 3.3.1.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y - 1) (y + 2)}{(y - 1) (y + 2)}$

Schritt 3.3.1.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Schritt 3.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 2$ .

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Schritt 3.3.1.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{2} x + y x - 2 x = \frac{{(y + 1)}^{2} (y + 2)}{y + 2}$

Schritt 3.3.1.5.2.2

Dividiere ${(y + 1)}^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = {(y + 1)}^{2}$

Schritt 3.3.1.5.3

Schreibe ${(y + 1)}^{2}$ als $(y + 1) (y + 1)$ um.

$y^{2} x + y x - 2 x = (y + 1) (y + 1)$

Schritt 3.3.1.6

Multipliziere $(y + 1) (y + 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.3.1.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} x + y x - 2 x = y (y + 1) + 1 (y + 1)$

Schritt 3.3.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 (y + 1)$

Schritt 3.3.1.6.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y^{2} x + y x - 2 x = y \cdot y + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.7

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.3.1.7.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.3.1.7.1.1

Mutltipliziere $y$ mit $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y \cdot 1 + 1 y + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.7.1.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + 1 y + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.7.1.3

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1 \cdot 1$

Schritt 3.3.1.7.1.4

Mutltipliziere $1$ mit $1$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + y + y + 1$

Schritt 3.3.1.7.2

Addiere $y$ und $y$ .

$y^{2} x + y x - 2 x = y^{2} + 2 y + 1$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Bringe alle Terme, die $y$ enthalten, auf die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1.1

Subtrahiere $y^{2}$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} = 2 y + 1$

Schritt 3.4.1.2

Subtrahiere $2 y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y = 1$

Schritt 3.4.2

Subtrahiere $1$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{2} x + y x - 2 x - y^{2} - 2 y - 1 = 0$

Schritt 3.4.3

Verwende die Quadratformel, um die Lösungen zu finden.

$\frac{- b \pm \sqrt{b^{2} - 4 (a c)}}{2 a}$

Schritt 3.4.4

Setze die Werte $a = x - 1$ , $b = x - 2$ und $c = - 2 x - 1$ in die Quadratformel ein und löse nach $y$ auf.

$\frac{- (x - 2) \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot ((x - 1) \cdot (- 2 x - 1))}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.5.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.3

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.4

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.5.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.5.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.5.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.5.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.5.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.5.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.6

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.8

Multipliziere $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.5.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.5.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.5.9.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.9.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.5.9.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.9.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.9.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.9.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.9.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.9.2

Subtrahiere $8 x$ von $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.10

Addiere $x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.11

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.12

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.13

Addiere $9 x^{2} - 8 x$ und $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.14

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{2} - 8 x$ heraus.

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Schritt 3.4.5.14.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.14.2

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x$ heraus.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.5.14.3

Faktorisiere $x$ aus $x (9 x) + x \cdot - 8$ heraus.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.6

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $+$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.4.6.1

Ändere das $\pm$ zu $+$ .

$y = \frac{- x + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.6.2

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{- (x) + 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.6.3

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.6.4

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$y = \frac{- (x - 2) + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.6.5

Faktorisiere $- 1$ aus $\sqrt{x (9 x - 8)}$ heraus.

$y = \frac{- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.6.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x - 2) - 1 (- \sqrt{x (9 x - 8)})$ heraus.

$y = \frac{- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.6.7

Schreibe $- (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ als $- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})$ um.

$y = \frac{- 1 (x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.6.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7

Vereinfache den Ausdruck, um nach dem $-$ -Teil von $\pm$ aufzulösen.

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Schritt 3.4.7.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.4.7.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{{(x - 2)}^{2} - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.3

Schreibe ${(x - 2)}^{2}$ als $(x - 2) (x - 2)$ um.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{(x - 2) (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.4

Multipliziere $(x - 2) (x - 2)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.7.1.4.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (x - 2) - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 (x - 2) - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.4.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x \cdot x + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.5

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.7.1.5.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.7.1.5.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} + x \cdot - 2 - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.5.1.2

Bringe $- 2$ auf die linke Seite von $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x - 2 x - 2 \cdot - 2 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.5.1.3

Mutltipliziere $- 2$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 2 x - 2 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.5.2

Subtrahiere $2 x$ von $- 2 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (x - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x - 4 \cdot - 1) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.7

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + (- 4 x + 4) \cdot (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.8

Multipliziere $(- 4 x + 4) (- 2 x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.7.1.8.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x - 1) + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.8.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x - 1)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.8.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 x (- 2 x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.9

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.7.1.9.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.7.1.9.1.1

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x \cdot x) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.9.1.2

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 3.4.7.1.9.1.2.1

Bewege $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 (x \cdot x)) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.9.1.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 - 4 \cdot (- 2 x^{2}) - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.9.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 2$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x \cdot - 1 + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.9.1.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x + 4 (- 2 x) + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.9.1.5

Mutltipliziere $- 2$ mit $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x + 4 \cdot - 1}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.9.1.6

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} + 4 x - 8 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.9.2

Subtrahiere $8 x$ von $4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x^{2} - 4 x + 4 + 8 x^{2} - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.10

Addiere $x^{2}$ und $8 x^{2}$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 4 x + 4 - 4 x - 4}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.11

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 4 - 4}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.12

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x + 0}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.13

Addiere $9 x^{2} - 8 x$ und $0$ .

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{9 x^{2} - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.14

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{2} - 8 x$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.7.1.14.1

Faktorisiere $x$ aus $9 x^{2}$ heraus.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) - 8 x}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.14.2

Faktorisiere $x$ aus $- 8 x$ heraus.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x) + x \cdot - 8}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.1.14.3

Faktorisiere $x$ aus $x (9 x) + x \cdot - 8$ heraus.

$y = \frac{- x + 2 \pm \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.2

Ändere das $\pm$ zu $-$ .

$y = \frac{- x + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.3

Faktorisiere $- 1$ aus $- x$ heraus.

$y = \frac{- (x) + 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.4

Schreibe $2$ als $- 1 (- 2)$ um.

$y = \frac{- (x) - 1 \cdot - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.5

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x) - 1 (- 2)$ heraus.

$y = \frac{- (x - 2) - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.6

Faktorisiere $- 1$ aus $- \sqrt{x (9 x - 8)}$ heraus.

$y = \frac{- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.7

Faktorisiere $- 1$ aus $- (x - 2) - (\sqrt{x (9 x - 8)})$ heraus.

$y = \frac{- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.8

Schreibe $- (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ als $- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})$ um.

$y = \frac{- 1 (x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)})}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.7.9

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 3.4.8

Die endgültige Lösung ist die Kombination beider Lösungen.

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

$y = - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ und $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, \infty)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{x (9 x - 8)}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x (9 x - 8) \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$x = 0$

$9 x - 8 = 0$

Schritt 5.3.2.2

Setze $x$ gleich $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.3.2.3

Setze $9 x - 8$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.3.1

Setze $9 x - 8$ gleich $0$ .

$9 x - 8 = 0$

Schritt 5.3.2.3.2

Löse $9 x - 8 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.3.2.1

Addiere $8$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$9 x = 8$

Schritt 5.3.2.3.2.2

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 8$ durch $9$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.2.3.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $9 x = 8$ durch $9$ .

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Schritt 5.3.2.3.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.2.3.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.2.3.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{9 x}{9} = \frac{8}{9}$

Schritt 5.3.2.3.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{8}{9}$

Schritt 5.3.2.4

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $x (9 x - 8) \geq 0$ wahr machen.

$x = 0, \frac{8}{9}$

Schritt 5.3.2.5

Verwende jede Wurzel, um Testintervalle zu erzeugen.

$x < 0$

$0 < x < \frac{8}{9}$

$x > \frac{8}{9}$

Schritt 5.3.2.6

Wähle einen Testwert aus jedem Intervall und setze diesen Wert in die ursprüngliche Ungleichung ein, um zu ermitteln, welche Intervalle die Ungleichung erfüllen.

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Schritt 5.3.2.6.1

Teste einen Wert im Intervall $x < 0$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.2.6.1.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x < 0$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = - 2$

Schritt 5.3.2.6.1.2

Ersetze $x$ durch $- 2$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(- 2) (9 (- 2) - 8) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.1.3

Die linke Seite $52$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3.2.6.2

Teste einen Wert im Intervall $0 < x < \frac{8}{9}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.2.6.2.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $0 < x < \frac{8}{9}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 0.44$

Schritt 5.3.2.6.2.2

Ersetze $x$ durch $0.44$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(0.44) (9 (0.44) - 8) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.2.3

Die linke Seite $- 1.7776$ ist kleiner als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage falsch ist.

False

Schritt 5.3.2.6.3

Teste einen Wert im Intervall $x > \frac{8}{9}$ , um zu sehen, ob er die Ungleichung erfüllt.

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Schritt 5.3.2.6.3.1

Wähle einen Wert aus dem Intervall $x > \frac{8}{9}$ und stelle fest, ob dieser Wert die ursprüngliche Ungleichung erfüllt.

$x = 3$

Schritt 5.3.2.6.3.2

Ersetze $x$ durch $3$ in der ursprünglichen Ungleichung.

$(3) (9 (3) - 8) \geq 0$

Schritt 5.3.2.6.3.3

Die linke Seite $57$ ist größer als die rechte Seite $0$ , was bedeutet, dass die gegebene Aussage immer wahr ist.

True

Schritt 5.3.2.6.4

Vergleiche die Intervalle, um zu ermitteln, welche die ursprüngliche Ungleichung erfüllen.

$x < 0$ Wahr

$0 < x < \frac{8}{9}$ Falsch

$x > \frac{8}{9}$ Wahr

$x < 0$ Wahr

$0 < x < \frac{8}{9}$ Falsch

$x > \frac{8}{9}$ Wahr

Schritt 5.3.2.7

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x \leq 0$ oder $x \geq \frac{8}{9}$

Schritt 5.3.3

Setze den Nenner in $\frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$2 (x - 1) = 0$

Schritt 5.3.4

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.4.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x - 1) = 0$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 5.3.4.1.1

Teile jeden Ausdruck in $2 (x - 1) = 0$ durch $2$ .

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.4.1.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 5.3.4.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 (x - 1)}{2} = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.4.1.2.1.2

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$x - 1 = \frac{0}{2}$

Schritt 5.3.4.1.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 5.3.4.1.3.1

Dividiere $0$ durch $2$ .

$x - 1 = 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 1$

Schritt 5.3.5

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0] \cup [\frac{8}{9}, 1) \cup (1, \infty)$

Schritt 5.4

Da die Definitionsbereich von $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ nicht gleich dem Wertebereich von $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ ist, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{x - 2 - \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}, - \frac{x - 2 + \sqrt{x (9 x - 8)}}{2 (x - 1)}$ keine inverse Funktion von $f (x) = \frac{x^{2} + 2 x + 1}{x^{2} + x - 2}$ .

Es gibt keine Inverse (Umkehrfunktion)

Schritt 6