Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ als Gleichung.

$y = \frac{x - 7}{x + 7}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y - 7}{y + 7}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ um.

$\frac{y - 7}{y + 7} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y + 7, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y + 7, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y + 7$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ mit $y + 7$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y - 7}{y + 7} = x$ mit $y + 7$ .

$\frac{y - 7}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 7$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 7}{y + 7} (y + 7) = x (y + 7)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 7 = x (y + 7)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 7 = x y + x \cdot 7$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $7$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 7 = x y + 7 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 7 - x y = 7 x$

Schritt 3.4.2

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y - x y = 7 x + 7$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y - x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 - x y = 7 x + 7$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot 1 + y (- x) = 7 x + 7$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- x)$ heraus.

$y (1 - x) = 7 x + 7$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = 7 x + 7$ durch $1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = 7 x + 7$ durch $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{7 x}{1 - x} + \frac{7}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{7 x + 7}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.3.2

Faktorisiere $7$ aus $7 x + 7$ heraus.

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Schritt 3.4.4.3.2.1

Faktorisiere $7$ aus $7 x$ heraus.

$y = \frac{7 (x) + 7}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.3.2.2

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$y = \frac{7 (x) + 7 (1)}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.3.2.3

Faktorisiere $7$ aus $7 (x) + 7 (1)$ heraus.

$y = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 ((\frac{x - 7}{x + 7}) + 1)}{1 - (\frac{x - 7}{x + 7})}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x - 7}{x + 7} + \frac{x + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x - 7 + x + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Schritt 5.2.3.3

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{x + x - 7 + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Schritt 5.2.3.4

Schreibe $\frac{x + x - 7 + 7}{x + 7}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.3.4.1

Addiere $x$ und $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x - 7 + 7}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Schritt 5.2.3.4.2

Addiere $- 7$ und $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x + 0}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Schritt 5.2.3.4.3

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{1 - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7}{x + 7} - \frac{x - 7}{x + 7}}$

Schritt 5.2.4.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - (x - 7)}{x + 7}}$

Schritt 5.2.4.3

Schreibe $\frac{x + 7 - (x - 7)}{x + 7}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.4.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - x + 7}{x + 7}}$

Schritt 5.2.4.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{x + 7 - x + 7}{x + 7}}$

Schritt 5.2.4.3.3

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{0 + 7 + 7}{x + 7}}$

Schritt 5.2.4.3.4

Addiere $0$ und $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{7 + 7}{x + 7}}$

Schritt 5.2.4.3.5

Addiere $7$ und $7$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{7 (\frac{2 x}{x + 7})}{\frac{14}{x + 7}}$

Schritt 5.2.5

Kombiniere $7$ und $\frac{2 x}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{\frac{7 (2 x)}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Schritt 5.2.6

Mutltipliziere $7$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{\frac{14 x}{x + 7}}{\frac{14}{x + 7}}$

Schritt 5.2.7

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Schritt 5.2.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $14$ .

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Schritt 5.2.8.1

Faktorisiere $14$ aus $14 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 (x)}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Schritt 5.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{14 x}{x + 7} \cdot \frac{x + 7}{14}$

Schritt 5.2.8.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Schritt 5.2.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 7$ .

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Schritt 5.2.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = \frac{x}{x + 7} \cdot (x + 7)$

Schritt 5.2.9.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x - 7}{x + 7}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) - 7}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Schritt 5.3.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) - 7$ und $(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7$ .

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $7$ aus $\frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ heraus.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) - 7}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $7$ aus $- 7$ heraus.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7 \cdot - 1}{\frac{7 (x + 1)}{1 - x} + 7}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $7$ aus $7 \frac{x + 1}{1 - x} + 7 (- 1)$ heraus.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{(\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) + 7}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.3.4.1

Faktorisiere $7$ aus $\frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ heraus.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7}$

Schritt 5.3.3.4.2

Faktorisiere $7$ aus $7$ heraus.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x}) + 7 (1)}$

Schritt 5.3.3.4.3

Faktorisiere $7$ aus $7 \frac{x + 1}{1 - x} + 7 (1)$ heraus.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Schritt 5.3.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{7 (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{7 (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Schritt 5.3.3.4.5

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Schritt 5.3.4

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

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Schritt 5.3.4.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$ mit $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{x + 1}{1 - x} + 1}$

Schritt 5.3.4.2

Kombinieren.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x} - 1)}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x} + 1)}$

Schritt 5.3.5

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 5.3.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 5.3.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 5.3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.6.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 + 1 \cdot - 1 - x \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 - x \cdot - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.3

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 5.3.7.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 + 1 x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{x + 1 - 1 + x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.4

Addiere $x$ und $x$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x + 1 - 1}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x + 0}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.7.6

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{x + 1 + (1 - x) \cdot 1}$

Schritt 5.3.8

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.8.1

Mutltipliziere $1 - x$ mit $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{x + 1 + 1 - x}$

Schritt 5.3.8.2

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{0 + 1 + 1}$

Schritt 5.3.8.3

Addiere $0$ und $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{1 + 1}$

Schritt 5.3.8.4

Addiere $1$ und $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.3.9

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.9.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.3.9.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{7 (x + 1)}{1 - x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x - 7}{x + 7}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{7 (x + 1)}{1 - x}$