Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ als Gleichung.

$y = \frac{x - 1}{x + 5}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \frac{y - 1}{y + 5}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ um.

$\frac{y - 1}{y + 5} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y + 5, 1$

Schritt 3.2.2

Entferne die Klammern.

$y + 5, 1$

Schritt 3.2.3

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y + 5$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ mit $y + 5$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $\frac{y - 1}{y + 5} = x$ mit $y + 5$ .

$\frac{y - 1}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y + 5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y - 1}{y + 5} (y + 5) = x (y + 5)$

Schritt 3.3.2.1.2

Forme den Ausdruck um.

$y - 1 = x (y + 5)$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y - 1 = x y + x \cdot 5$

Schritt 3.3.3.2

Bringe $5$ auf die linke Seite von $x$ .

$y - 1 = x y + 5 x$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $x y$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y - 1 - x y = 5 x$

Schritt 3.4.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y - x y = 5 x + 1$

Schritt 3.4.3

Faktorisiere $y$ aus $y - x y$ heraus.

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Schritt 3.4.3.1

Faktorisiere $y$ aus $y^{1}$ heraus.

$y \cdot 1 - x y = 5 x + 1$

Schritt 3.4.3.2

Faktorisiere $y$ aus $- x y$ heraus.

$y \cdot 1 + y (- x) = 5 x + 1$

Schritt 3.4.3.3

Faktorisiere $y$ aus $y \cdot 1 + y (- x)$ heraus.

$y (1 - x) = 5 x + 1$

Schritt 3.4.4

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = 5 x + 1$ durch $1 - x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.4.1

Teile jeden Ausdruck in $y (1 - x) = 5 x + 1$ durch $1 - x$ .

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 3.4.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y (1 - x)}{1 - x} = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{5 x}{1 - x} + \frac{1}{1 - x}$

Schritt 3.4.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.4.3.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$y = \frac{5 x + 1}{1 - x}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1}{1 - (\frac{x - 1}{x + 5})}$

Schritt 5.2.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $x + 5$ .

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Schritt 5.2.3.1

Mutltipliziere $\frac{5 \frac{x - 1}{x + 5} + 1}{1 - \frac{x - 1}{x + 5}}$ mit $\frac{x + 5}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x + 5}{x + 5} \cdot \frac{5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1}{1 - \frac{x - 1}{x + 5}}$

Schritt 5.2.3.2

Kombinieren.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1)}{(x + 5) (1 - \frac{x - 1}{x + 5})}$

Schritt 5.2.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (- \frac{x - 1}{x + 5})}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 5.2.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x - 1}{x + 5}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (\frac{- (x - 1)}{x + 5})}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 + (x + 5) (\frac{- (x - 1)}{x + 5})}$

Schritt 5.2.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Schritt 5.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.6.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 5) \cdot 5 \frac{x - 1}{x + 5} + (x + 5) \cdot 1$ heraus.

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Schritt 5.2.6.1.1

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 5) \cdot 5 \frac{x - 1}{x + 5}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) \cdot 1}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Schritt 5.2.6.1.2

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 5) \cdot 1$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5})) + (x + 5) (1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Schritt 5.2.6.1.3

Faktorisiere $x + 5$ aus $(x + 5) (5 \frac{x - 1}{x + 5}) + (x + 5) (1)$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (5 (\frac{x - 1}{x + 5}) + 1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Schritt 5.2.6.2

Kombiniere $5$ und $\frac{x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1)}{x + 5} + 1)}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Schritt 5.2.6.3

Schreibe $1$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1)}{x + 5} + \frac{x + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Schritt 5.2.6.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{5 (x - 1) + x + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Schritt 5.2.6.5

Stelle die Terme um.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 (x - 1) + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Schritt 5.2.6.6

Schreibe $\frac{x + 5 (x - 1) + 5}{x + 5}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 5.2.6.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 x + 5 \cdot - 1 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Schritt 5.2.6.6.2

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{x + 5 x - 5 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Schritt 5.2.6.6.3

Addiere $x$ und $5 x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x - 5 + 5}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Schritt 5.2.6.6.4

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x + 0}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Schritt 5.2.6.6.5

Addiere $6 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{(x + 5) \cdot 1 - (x - 1)}$

Schritt 5.2.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.2.7.1

Mutltipliziere $x + 5$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - (x - 1)}$

Schritt 5.2.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - x + 1}$

Schritt 5.2.7.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{x + 5 - x + 1}$

Schritt 5.2.7.4

Subtrahiere $x$ von $x$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{0 + 5 + 1}$

Schritt 5.2.7.5

Addiere $0$ und $5$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{5 + 1}$

Schritt 5.2.7.6

Addiere $5$ und $1$ .

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{(x + 5) (\frac{6 x}{x + 5})}{6}$

Schritt 5.2.8

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.8.1

Faktorisiere $\frac{6 x}{x + 5}$ aus $\frac{(x + 5) \frac{6 x}{x + 5}}{6}$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Schritt 5.2.8.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.2.8.2.1

Faktorisiere $6$ aus $6 x$ heraus.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 (x)}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Schritt 5.2.8.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{6 x}{x + 5} \cdot \frac{x + 5}{6}$

Schritt 5.2.8.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Schritt 5.2.8.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x + 5$ .

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Schritt 5.2.8.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = \frac{x}{x + 5} \cdot (x + 5)$

Schritt 5.2.8.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\frac{x - 1}{x + 5}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{5 x + 1}{1 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(\frac{5 x + 1}{1 - x}) - 1}{(\frac{5 x + 1}{1 - x}) + 5}$

Schritt 5.3.3

Multiply the numerator and denominator of the fraction by $1 - x$ .

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Schritt 5.3.3.1

Mutltipliziere $\frac{\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5}$ mit $\frac{1 - x}{1 - x}$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{1 - x}{1 - x} \cdot \frac{\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1}{\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5}$

Schritt 5.3.3.2

Kombinieren.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x} - 1)}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x} + 5)}$

Schritt 5.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Schritt 5.3.5

Vereinfache durch Kürzen.

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 5.3.5.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Schritt 5.3.5.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $1 - x$ .

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Schritt 5.3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{(1 - x) (\frac{5 x + 1}{1 - x}) + (1 - x) \cdot 5}$

Schritt 5.3.5.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + (1 - x) \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.6.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 + 1 \cdot - 1 - x \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Schritt 5.3.6.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 - x \cdot - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Schritt 5.3.6.3

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 5.3.6.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 + 1 x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Schritt 5.3.6.3.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{5 x + 1 - 1 + x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Schritt 5.3.6.4

Addiere $5 x$ und $x$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x + 1 - 1}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Schritt 5.3.6.5

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x + 0}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Schritt 5.3.6.6

Addiere $6 x$ und $0$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + (1 - x) \cdot 5}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 5.3.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 1 \cdot 5 - x \cdot 5}$

Schritt 5.3.7.2

Mutltipliziere $5$ mit $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 5 - x \cdot 5}$

Schritt 5.3.7.3

Mutltipliziere $5$ mit $- 1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{5 x + 1 + 5 - 5 x}$

Schritt 5.3.7.4

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{0 + 1 + 5}$

Schritt 5.3.7.5

Addiere $0$ und $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{1 + 5}$

Schritt 5.3.7.6

Addiere $1$ und $5$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 5.3.8

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 5.3.8.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = \frac{6 x}{6}$

Schritt 5.3.8.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f (\frac{5 x + 1}{1 - x}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \frac{x - 1}{x + 5}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{5 x + 1}{1 - x}$