Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{5} - 1$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x^{5} - 1$ als Gleichung.

$y = x^{5} - 1$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = y^{5} - 1$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y^{5} - 1 = x$ um.

$y^{5} - 1 = x$

Schritt 3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y^{5} = x + 1$

Schritt 3.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \sqrt[5]{x + 1}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = x^{5} - 1$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (x^{5} - 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = \sqrt[5]{(x^{5} - 1) + 1}$

Schritt 5.2.3

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = \sqrt[5]{x^{5} + 0}$

Schritt 5.2.4

Addiere $x^{5}$ und $0$ .

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = \sqrt[5]{x^{5}}$

Schritt 5.2.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (x^{5} - 1) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[5]{x + 1})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(\sqrt[5]{x + 1})}^{5} - 1$

Schritt 5.3.3

Schreibe ${\sqrt[5]{x + 1}}^{5}$ als $x + 1$ um.

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Schritt 5.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[5]{x + 1}$ als ${(x + 1)}^{\frac{1}{5}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {({(x + 1)}^{\frac{1}{5}})}^{5} - 1$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{1}{5} \cdot 5} - 1$

Schritt 5.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{5}$ und $5$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{5}{5}} - 1$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = {(x + 1)}^{\frac{5}{5}} - 1$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = (x + 1) - 1$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = x + 1 - 1$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 1 - 1$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\sqrt[5]{x + 1}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = x^{5} - 1$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[5]{x + 1}$