Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = x^{\frac{3}{5}}$ als Gleichung.

$y = x^{\frac{3}{5}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = y^{\frac{3}{5}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $y^{\frac{3}{5}} = x$ um.

$y^{\frac{3}{5}} = x$

Schritt 3.2

Potenziere jede Seite der Gleichung mit $\frac{5}{3}$ , um den gebrochenen Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

${(y^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}} = x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 3.3

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Vereinfache ${(y^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${(y^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$y^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 3.3.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}} = x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 3.3.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 3.3.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y^{\frac{1}{5} \cdot 5} = x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 3.3.1.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$y^{1} = x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 3.3.1.2

Vereinfache.

$y = x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{5}{3}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{\frac{5}{3}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = x^{\frac{3}{5}}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (x^{\frac{3}{5}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{3}{5}}) = {(x^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$

Schritt 5.2.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{3}{5}})}^{\frac{5}{3}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{3}{5} \cdot \frac{5}{3}}$

Schritt 5.2.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 5.2.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (x^{\frac{3}{5}}) = x^{\frac{1}{5} \cdot 5}$

Schritt 5.2.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (x^{\frac{3}{5}}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{\frac{5}{3}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{\frac{5}{3}}) = {(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$

Schritt 5.3.3

Multipliziere die Exponenten in ${(x^{\frac{5}{3}})}^{\frac{3}{5}}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (x^{\frac{5}{3}}) = x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}}$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x^{\frac{5}{3}}) = x^{\frac{5}{3} \cdot \frac{3}{5}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x^{\frac{5}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x^{\frac{5}{3}}) = x^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 5.3.3.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (x^{\frac{5}{3}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{\frac{5}{3}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = x^{\frac{3}{5}}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{\frac{5}{3}}$