Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = e^{3 x - 5} - 2$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ als Gleichung.

$y = e^{3 x - 5} - 2$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = e^{3 y - 5} - 2$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $e^{3 y - 5} - 2 = x$ um.

$e^{3 y - 5} - 2 = x$

Schritt 3.2

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$e^{3 y - 5} = x + 2$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{3 y - 5}) = \ln (x + 2)$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{3 y - 5})$ durch Herausziehen von $3 y - 5$ aus dem Logarithmus.

$(3 y - 5) \ln (e) = \ln (x + 2)$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$(3 y - 5) \cdot 1 = \ln (x + 2)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $3 y - 5$ mit $1$ .

$3 y - 5 = \ln (x + 2)$

Schritt 3.5

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = \ln (x + 2) + 5$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \ln (x + 2) + 5$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = \ln (x + 2) + 5$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.3.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\frac{\ln ((e^{3 x - 5} - 2) + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ .

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Schritt 5.2.3.1.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5} + 0)}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.2.3.1.2

Addiere $e^{3 x - 5}$ und $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5})}{3} + \frac{5}{3}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{\ln (e^{3 x - 5}) + 5}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $3 x - 5$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \ln (e) + 5}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{(3 x - 5) \cdot 1 + 5}{3}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $3 x - 5$ mit $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x - 5 + 5}{3}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (e^{3 x - 5} - 2) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1.1

Schreibe $\frac{\ln (x + 2)}{3}$ als $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ um.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{1}{3} \cdot \ln (x + 2) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Schritt 5.3.3.1.1.2

Vereinfache $\frac{1}{3} \ln (x + 2)$ , indem du $\frac{1}{3}$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Schritt 5.3.3.1.2

Um $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot \frac{3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Schritt 5.3.3.1.3

Kombiniere $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3}{3} + \frac{5}{3}) - 5} - 2$

Schritt 5.3.3.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3 + 5}{3}) - 5} - 2$

Schritt 5.3.3.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.5.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.3.3.1.5.1.1

Multipliziere $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) \cdot 3$ .

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Schritt 5.3.3.1.5.1.1.1

Stelle $\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ und $3$ um.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Schritt 5.3.3.1.5.1.1.2

Vereinfache $3 \cdot \ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})$ , indem du $3$ in den Logarithmus ziehst.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Schritt 5.3.3.1.5.1.2

Multipliziere die Exponenten in ${({(x + 2)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$ .

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Schritt 5.3.3.1.5.1.2.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Schritt 5.3.3.1.5.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.1.5.1.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Schritt 5.3.3.1.5.1.2.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln ({(x + 2)}^{1}) + 5}{3}) - 5} - 2$

Schritt 5.3.3.1.5.1.3

Vereinfache.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Schritt 5.3.3.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{3 (\frac{\ln (x + 2) + 5}{3}) - 5} - 2$

Schritt 5.3.3.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 5 - 5} - 2$

Schritt 5.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\ln (x + 2) + 5 - 5$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2) + 0} - 2$

Schritt 5.3.3.2.2

Addiere $\ln (x + 2)$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = e^{\ln (x + 2)} - 2$

Schritt 5.3.3.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 2 - 2$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = e^{3 x - 5} - 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (x + 2)}{3} + \frac{5}{3}$