Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{3 x - 6}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{3 x - 6}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{3 x - 6}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{3 y - 6}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{3 y - 6} = x$ um.

$\sqrt{3 y - 6} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{3 y - 6}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 y - 6}$ als ${(3 y - 6)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(3 y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(3 y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(3 y - 6)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(3 y - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(3 y - 6)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(3 y - 6)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$3 y - 6 = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.1

Addiere $6$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = x^{2} + 6$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{2} + 6$ durch $3$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x^{2} + 6$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{6}{3}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x^{2}}{3} + \frac{6}{3}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + \frac{6}{3}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.4.2.3.1

Dividiere $6$ durch $3$ .

$y = \frac{x^{2}}{3} + 2$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{3 x - 6}$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{(\sqrt{3 x - 6})}^{2}}{3} + 2$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 6$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{\sqrt{3 (x) - 6}}^{2}}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{\sqrt{3 x + 3 \cdot - 2}}^{2}}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 2$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{\sqrt{3 (x - 2)}}^{2}}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{3 (x - 2)}}^{2}$ als $3 (x - 2)$ um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{3 (x - 2)}$ als ${(3 (x - 2))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{({(3 (x - 2))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{(3 (x - 2))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{(3 (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{{(3 (x - 2))}^{\frac{2}{2}}}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 x + 3 \cdot - 2}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.4

Mutltipliziere $3$ mit $- 2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 x - 6}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.5

Faktorisiere $3$ aus $3 x - 6$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.5.1

Faktorisiere $3$ aus $3 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x) - 6}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.5.2

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 x + 3 \cdot - 2}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.1.5.3

Faktorisiere $3$ aus $3 x + 3 \cdot - 2$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = \frac{3 (x - 2)}{3} + 2$

Schritt 5.2.3.2.2

Dividiere $x - 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = x - 2 + 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{3 x - 6}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{3} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2) - 6}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (\frac{x^{2}}{3} + 2) - 6$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $3$ aus $- 6$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2) + 3 \cdot - 2}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $3$ aus $3 (\frac{x^{2}}{3} + 2) + 3 \cdot - 2$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 2 - 2)}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3} + 0)}$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $\frac{x^{2}}{3}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{3 (\frac{x^{2}}{3})}$

Schritt 5.3.5

Kombiniere $3$ und $\frac{x^{2}}{3}$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{3 x^{2}}{3}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{\frac{3 x^{2}}{3}}$

Schritt 5.3.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Schritt 5.3.6.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 5.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{3} + 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{3 x - 6}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{3} + 2$