Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{4 x - 4}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{4 x - 4}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{4 y - 4}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{4 y - 4} = x$ um.

$\sqrt{4 y - 4} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 y - 4}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 y - 4}$ als ${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 y - 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 y - 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 y - 4)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$4 y - 4 = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Addiere $4$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = x^{2} + 4$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{2} + 4$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x^{2} + 4$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + \frac{4}{4}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Dividiere $4$ durch $4$ .

$y = \frac{x^{2}}{4} + 1$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{(\sqrt{4 x - 4})}^{2}}{4} + 1$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 4$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x) - 4}}^{2}}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x) + 4 (- 1)}}^{2}}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{4 (x - 1)}}^{2}}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.2

Schreibe $4$ als $2^{2}$ um.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{\sqrt{2^{2} (x - 1)}}^{2}}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{{(2 \sqrt{x - 1})}^{2}}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.4

Wende die Produktregel auf $2 \sqrt{x - 1}$ an.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{2^{2} {\sqrt{x - 1}}^{2}}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {\sqrt{x - 1}}^{2}}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.6

Schreibe ${\sqrt{x - 1}}^{2}$ als $x - 1$ um.

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Schritt 5.2.3.1.6.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x - 1}$ als ${(x - 1)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {({(x - 1)}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.6.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.6.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.6.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.6.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 {(x - 1)}^{\frac{2}{2}}}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.6.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.6.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.7

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 x + 4 \cdot - 1}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.8

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 x - 4}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.9

Faktorisiere $4$ aus $4 x - 4$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.9.1

Faktorisiere $4$ aus $4 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x) - 4}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.9.2

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x) + 4 (- 1)}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.1.9.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (x) + 4 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = \frac{4 (x - 1)}{4} + 1$

Schritt 5.2.3.2.2

Dividiere $x - 1$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x - 1 + 1$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 x - 4}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{4} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) - 4}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $4$ aus $4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) - 4$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $4$ aus $- 4$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) + 4 (- 1)}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $4$ aus $4 (\frac{x^{2}}{4} + 1) + 4 (- 1)$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 1 - 1)}$

Schritt 5.3.4

Vereinfache durch Substrahieren von Zahlen.

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4} + 0)}$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $\frac{x^{2}}{4}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{4 (\frac{x^{2}}{4})}$

Schritt 5.3.5

Kombiniere $4$ und $\frac{x^{2}}{4}$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Schritt 5.3.6

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{4 x^{2}}{4}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.6.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{4 x^{2}}{4}}$

Schritt 5.3.6.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Schritt 5.3.6.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 5.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{4} + 1) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{4 x - 4}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{4} + 1$