Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{8 x + 10}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{8 x + 10}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{8 y + 10}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{8 y + 10} = x$ um.

$\sqrt{8 y + 10} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{8 y + 10}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 y + 10}$ als ${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 y + 10)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(8 y + 10)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 y + 10)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$8 y + 10 = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $10$ von beiden Seiten der Gleichung.

$8 y = x^{2} - 10$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $8 y = x^{2} - 10$ durch $8$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $8 y = x^{2} - 10$ durch $8$ .

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $8$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{8 y}{8} = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 10}{8}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 10$ und $8$ .

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Schritt 3.4.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 (- 5)}{8}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.4.2.3.1.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{2 \cdot - 5}{2 \cdot 4}$

Schritt 3.4.2.3.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x^{2}}{8} + \frac{- 5}{4}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(\sqrt{8 x + 10})}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x + 10$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x) + 10}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x) + 2 (5)}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x) + 2 (5)$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.1.2

Schreibe ${\sqrt{2 (4 x + 5)}}^{2}$ als $2 (4 x + 5)$ um.

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Schritt 5.2.3.1.2.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{2 (4 x + 5)}$ als ${(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{({(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2}})}^{2}}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.1.2.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{1}{2} \cdot 2}}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.1.2.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.1.2.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.2.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{{(2 (4 x + 5))}^{\frac{2}{2}}}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.1.2.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.1.2.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.1.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 2 \cdot 5}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.1.4

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{8 x + 2 \cdot 5}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.1.5

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{8 x + 10}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.1.6

Faktorisiere $2$ aus $8 x + 10$ heraus.

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Schritt 5.2.3.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $8 x$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 10}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.1.6.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x) + 2 (5)}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.1.6.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 x) + 2 (5)$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{8} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $8$ heraus.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{2 \cdot 4} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{2 (4 x + 5)}{2 \cdot 4} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 5}{4} - \frac{5}{4}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 5 - 5}{4}$

Schritt 5.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 x + 5 - 5$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Subtrahiere $5$ von $5$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x + 0}{4}$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $4 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = \frac{4 x}{4}$

Schritt 5.2.4.3.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 x + 10}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 10}$

Schritt 5.3.3

Faktorisiere $2$ aus $8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 10$ heraus.

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Schritt 5.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $8 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 10}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 2 (5)}$

Schritt 5.3.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4})) + 2 (5)$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) + 5)}$

Schritt 5.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{8}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.5.1

Faktorisiere $4$ aus $8$ heraus.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{4 (2)}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Schritt 5.3.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (4 (\frac{x^{2}}{4 \cdot 2}) + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Schritt 5.3.5.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (- \frac{5}{4}) + 5)}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.6.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{5}{4}$ in den Zähler.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (\frac{- 5}{4}) + 5)}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 4 (\frac{- 5}{4}) + 5)}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} - 5 + 5)}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 5.3.7.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2} + 0)}$

Schritt 5.3.7.2

Addiere $\frac{x^{2}}{2}$ und $0$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{2 (\frac{x^{2}}{2})}$

Schritt 5.3.8

Kombiniere $2$ und $\frac{x^{2}}{2}$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Schritt 5.3.9

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.9.1

Vereinfache den Ausdruck $\frac{2 x^{2}}{2}$ durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.3.9.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{2 x^{2}}{2}}$

Schritt 5.3.9.1.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{\frac{x^{2}}{1}}$

Schritt 5.3.9.2

Dividiere $x^{2}$ durch $1$ .

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 5.3.10

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (\frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{8 x + 10}$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x^{2}}{8} - \frac{5}{4}$