Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{8 - x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{8 - x}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{8 - x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{8 - y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{8 - y} = x$ um.

$\sqrt{8 - y} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{8 - y}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 - y}$ als ${(8 - y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(8 - y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(8 - y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(8 - y)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$8 - y = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- y = x^{2} - 8$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- y = x^{2} - 8$ durch $- 1$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- y = x^{2} - 8$ durch $- 1$ .

$\frac{- y}{- 1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$\frac{y}{1} = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.4.2.2.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 1} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{x^{2}}{- 1}$ .

$y = - 1 \cdot x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Schreibe $- 1 \cdot x^{2}$ als $- x^{2}$ um.

$y = - x^{2} + \frac{- 8}{- 1}$

Schritt 3.4.2.3.1.3

Dividiere $- 8$ durch $- 1$ .

$y = - x^{2} + 8$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{8 - x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{8 - x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(\sqrt{8 - x})}^{2} + 8$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe ${\sqrt{8 - x}}^{2}$ als $8 - x$ um.

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Schritt 5.2.3.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{8 - x}$ als ${(8 - x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {({(8 - x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 8$

Schritt 5.2.3.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 8$

Schritt 5.2.3.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{2}{2}} + 8$

Schritt 5.2.3.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - {(8 - x)}^{\frac{2}{2}} + 8$

Schritt 5.2.3.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - (8 - x) + 8$

Schritt 5.2.3.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - (8 - x) + 8$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 1 \cdot 8 + x + 8$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Schritt 5.2.3.4

Multipliziere $- - x$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + 1 x + 8$

Schritt 5.2.3.4.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = - 8 + x + 8$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 8 + x + 8$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{8 - x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- x^{2} + 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 - (- x^{2} + 8)}$

Schritt 5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 + x^{2} - 1 \cdot 8}$

Schritt 5.3.4

Mutltipliziere $- 1$ mit $8$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{8 + x^{2} - 8}$

Schritt 5.3.5

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Schritt 5.3.6

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (- x^{2} + 8) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 5.3.7

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- x^{2} + 8) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{8 - x}$ .

$f^{- 1} (x) = - x^{2} + 8$