Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ als Gleichung.

$y = \sqrt{4 - 5 x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = \sqrt{4 - 5 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $\sqrt{4 - 5 y} = x$ um.

$\sqrt{4 - 5 y} = x$

Schritt 3.2

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{4 - 5 y}}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - 5 y}$ als ${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Vereinfache ${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.3.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(4 - 5 y)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(4 - 5 y)}^{1} = x^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Vereinfache.

$4 - 5 y = x^{2}$

Schritt 3.4

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.4.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- 5 y = x^{2} - 4$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y = x^{2} - 4$ durch $- 5$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $- 5 y = x^{2} - 4$ durch $- 5$ .

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $- 5$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 5 y}{- 5} = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x^{2}}{- 5} + \frac{- 4}{- 5}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.2.3.1.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{- 4}{- 5}$

Schritt 3.4.2.3.1.2

Dividieren zweier negativer Zahlen ergibt eine positive Zahl.

$y = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = - \frac{{(\sqrt{4 - 5 x})}^{2}}{5} + \frac{4}{5}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(\sqrt{4 - 5 x})}^{2} + 4}{5}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Schreibe ${\sqrt{4 - 5 x}}^{2}$ als $4 - 5 x$ um.

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Schritt 5.2.4.1.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{4 - 5 x}$ als ${(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {({(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2}})}^{2} + 4}{5}$

Schritt 5.2.4.1.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} + 4}{5}$

Schritt 5.2.4.1.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{2}{2}} + 4}{5}$

Schritt 5.2.4.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.4.1.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- {(4 - 5 x)}^{\frac{2}{2}} + 4}{5}$

Schritt 5.2.4.1.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- (4 - 5 x) + 4}{5}$

Schritt 5.2.4.1.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- (4 - 5 x) + 4}{5}$

Schritt 5.2.4.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 1 \cdot 4 - (- 5 x) + 4}{5}$

Schritt 5.2.4.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 4 - (- 5 x) + 4}{5}$

Schritt 5.2.4.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{- 4 + 5 x + 4}{5}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 4 + 5 x + 4$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 4$ und $4$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x + 0}{5}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (\sqrt{4 - 5 x}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5})}$

Schritt 5.3.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 (- \frac{x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Schritt 5.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x^{2}}{5}$ in den Zähler.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 5 \frac{- x^{2}}{5} - 5 (\frac{4}{5})}$

Schritt 5.3.4.2

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 5 (- 1) (\frac{- x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Schritt 5.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 5 \cdot (- 1 \frac{- x^{2}}{5}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Schritt 5.3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 - 1 (- x^{2}) - 5 (\frac{4}{5})}$

Schritt 5.3.5

Multipliziere.

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Schritt 5.3.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + 1 x^{2} - 5 (\frac{4}{5})}$

Schritt 5.3.5.2

Mutltipliziere $x^{2}$ mit $1$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 5 (\frac{4}{5})}$

Schritt 5.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.6.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} + 5 (- 1) (\frac{4}{5})}$

Schritt 5.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} + 5 \cdot (- 1 (\frac{4}{5}))}$

Schritt 5.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 1 \cdot 4}$

Schritt 5.3.7

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 5.3.7.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{4 + x^{2} - 4}$

Schritt 5.3.7.2

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{x^{2} + 0}$

Schritt 5.3.7.3

Addiere $x^{2}$ und $0$ .

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = \sqrt{x^{2}}$

Schritt 5.3.8

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (- \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \sqrt{4 - 5 x}$ .

$f^{- 1} (x) = - \frac{x^{2}}{5} + \frac{4}{5}$