Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 6 \log (x) - 3$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 6 \log (x) - 3$ als Gleichung.

$y = 6 \log (x) - 3$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 6 \log (y) - 3$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $6 \log (y) - 3 = x$ um.

$6 \log (y) - 3 = x$

Schritt 3.2

Addiere $3$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$6 \log (y) = x + 3$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $6 \log (y) = x + 3$ durch $6$ und vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $6 \log (y) = x + 3$ durch $6$ .

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{6 \log (y)}{6} = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $\log (y)$ durch $1$ .

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3}{6}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $3$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $3$ heraus.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 (1)}{6}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{3 \cdot 1}{3 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$

Schritt 3.4

Schreibe $\log (y) = \frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}} = y$

Schritt 3.5

Schreibe die Gleichung als $y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ um.

$y = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 6 \log (x) - 3$ ist.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (6 \log (x) - 3)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{6 \log (x) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6 \log (x) - 3$ und $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.1

Faktorisiere $3$ aus $6 \log (x)$ heraus.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) - 3}{6} + \frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.2

Faktorisiere $3$ aus $- 3$ heraus.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.3

Faktorisiere $3$ aus $3 (2 \log (x)) + 3 (- 1)$ heraus.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{6} + \frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.3.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $6$ heraus.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 (2)} + \frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{3 (2 \log (x) - 1)}{3 \cdot 2} + \frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.3.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.3.2

Vereinfache $2 \log (x)$ , indem du $2$ in den Logarithmus ziehst.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1}{2} + \frac{1}{2}}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache Terme.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) - 1 + 1}{2}}$

Schritt 5.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\log (x^{2}) - 1 + 1$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.4.2.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2}) + 0}{2}}$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $\log (x^{2})$ und $0$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{\log (x^{2})}{2}}$

Schritt 5.2.5

Zerlege $\log (x^{2})$ durch Herausziehen von $2$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\frac{2 \log (x)}{2}}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $\log (x)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = 10^{\log (x)}$

Schritt 5.2.7

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (6 \log (x) - 3) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 \log (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) - 3$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.1

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \log (10)) - 3$

Schritt 5.3.3.2

Die logarithmische Basis $10$ von $10$ ist $1$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 ((\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) \cdot 1) - 3$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $\frac{x}{6} + \frac{1}{2}$ mit $1$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6} + \frac{1}{2}) - 3$

Schritt 5.3.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = 6 (\frac{x}{6}) + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Schritt 5.3.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 6 (\frac{1}{2}) - 3$

Schritt 5.3.3.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.3.6.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 (3) (\frac{1}{2}) - 3$

Schritt 5.3.3.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 2 \cdot (3 (\frac{1}{2})) - 3$

Schritt 5.3.3.6.3

Forme den Ausdruck um.

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 3 - 3$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 3 - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 6 \log (x) - 3$ .

$f^{- 1} (x) = 10^{\frac{x}{6} + \frac{1}{2}}$