Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 6 - \frac{1}{9} x$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 6 - \frac{1}{9} x$ als Gleichung.

$y = 6 - \frac{1}{9} x$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 6 - \frac{1}{9} y$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $6 - \frac{1}{9} y = x$ um.

$6 - \frac{1}{9} y = x$

Schritt 3.2

Kombiniere $y$ und $\frac{1}{9}$ .

$6 - \frac{y}{9} = x$

Schritt 3.3

Subtrahiere $6$ von beiden Seiten der Gleichung.

$- \frac{y}{9} = x - 6$

Schritt 3.4

Multipliziere beide Seiten der Gleichung mit $- 9$ .

$- 9 (- \frac{y}{9}) = - 9 (x - 6)$

Schritt 3.5

Vereinfache beide Seiten der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.1.1

Vereinfache $- 9 (- \frac{y}{9})$ .

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Schritt 3.5.1.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 3.5.1.1.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{y}{9}$ in den Zähler.

$- 9 \frac{- y}{9} = - 9 (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.1.2

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$9 (- 1) \frac{- y}{9} = - 9 (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$9 \cdot - 1 \frac{- y}{9} = - 9 (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.1.4

Forme den Ausdruck um.

$- - y = - 9 (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.2

Multipliziere.

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Schritt 3.5.1.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$1 y = - 9 (x - 6)$

Schritt 3.5.1.1.2.2

Mutltipliziere $y$ mit $1$ .

$y = - 9 (x - 6)$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Vereinfache $- 9 (x - 6)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = - 9 x - 9 \cdot - 6$

Schritt 3.5.2.1.2

Mutltipliziere $- 9$ mit $- 6$ .

$y = - 9 x + 54$

Schritt 4

Replace $y$ with $f^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$f^{- 1} (x) = - 9 x + 54$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = - 9 x + 54$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 6 - \frac{1}{9} x$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 9 (6 - \frac{1}{9} x) + 54$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Kombiniere $x$ und $\frac{1}{9}$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 9 (6 - \frac{x}{9}) + 54$

Schritt 5.2.3.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 9 \cdot 6 - 9 (- \frac{x}{9}) + 54$

Schritt 5.2.3.3

Mutltipliziere $- 9$ mit $6$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 54 - 9 (- \frac{x}{9}) + 54$

Schritt 5.2.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.2.3.4.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{x}{9}$ in den Zähler.

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 54 - 9 \frac{- x}{9} + 54$

Schritt 5.2.3.4.2

Faktorisiere $9$ aus $- 9$ heraus.

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 54 + 9 (- 1) (\frac{- x}{9}) + 54$

Schritt 5.2.3.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 54 + 9 \cdot (- 1 \frac{- x}{9}) + 54$

Schritt 5.2.3.4.4

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 54 - 1 (- x) + 54$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 54 + 1 x + 54$

Schritt 5.2.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = - 54 + x + 54$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $- 54 + x + 54$ .

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Schritt 5.2.4.1

Addiere $- 54$ und $54$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (6 - \frac{1}{9} x) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (- 9 x + 54)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (- 9 x + 54) = 6 - \frac{1}{9} \cdot (- 9 x + 54)$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (- 9 x + 54) = 6 - \frac{1}{9} \cdot (- 9 x) - \frac{1}{9} \cdot 54$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{9}$ in den Zähler.

$f (- 9 x + 54) = 6 + \frac{- 1}{9} \cdot (- 9 x) - \frac{1}{9} \cdot 54$

Schritt 5.3.3.2.2

Faktorisiere $9$ aus $- 9 x$ heraus.

$f (- 9 x + 54) = 6 + \frac{- 1}{9} \cdot (9 (- x)) - \frac{1}{9} \cdot 54$

Schritt 5.3.3.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 9 x + 54) = 6 + \frac{- 1}{9} \cdot (9 (- x)) - \frac{1}{9} \cdot 54$

Schritt 5.3.3.2.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- 9 x + 54) = 6 - 1 (- x) - \frac{1}{9} \cdot 54$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$f (- 9 x + 54) = 6 + 1 x - \frac{1}{9} \cdot 54$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (- 9 x + 54) = 6 + x - \frac{1}{9} \cdot 54$

Schritt 5.3.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $9$ .

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Schritt 5.3.3.5.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{1}{9}$ in den Zähler.

$f (- 9 x + 54) = 6 + x + \frac{- 1}{9} \cdot 54$

Schritt 5.3.3.5.2

Faktorisiere $9$ aus $54$ heraus.

$f (- 9 x + 54) = 6 + x + \frac{- 1}{9} \cdot (9 (6))$

Schritt 5.3.3.5.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (- 9 x + 54) = 6 + x + \frac{- 1}{9} \cdot (9 \cdot 6)$

Schritt 5.3.3.5.4

Forme den Ausdruck um.

$f (- 9 x + 54) = 6 + x - 1 \cdot 6$

Schritt 5.3.3.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $6$ .

$f (- 9 x + 54) = 6 + x - 6$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $6 + x - 6$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $6$ von $6$ .

$f (- 9 x + 54) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (- 9 x + 54) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = - 9 x + 54$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 6 - \frac{1}{9} x$ .

$f^{- 1} (x) = - 9 x + 54$