Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ als Gleichung.

$y = 4 + \sqrt{x + 4}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 4 + \sqrt{y + 4}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $4 + \sqrt{y + 4} = x$ um.

$4 + \sqrt{y + 4} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$\sqrt{y + 4} = x - 4$

Schritt 3.3

Um die Wurzel auf der linken Seite der Gleichung zu entfernen, quadriere beide Seiten der Gleichung.

${\sqrt{y + 4}}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 3.4

Vereinfache jede Seite der Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{y + 4}$ als ${(y + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 3.4.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.1

Vereinfache ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1

Multipliziere die Exponenten in ${({(y + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2}$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.1

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

${(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.4.2.1.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

${(y + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

${(y + 4)}^{1} = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 3.4.2.1.2

Vereinfache.

$y + 4 = {(x - 4)}^{2}$

Schritt 3.4.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.3.1

Vereinfache ${(x - 4)}^{2}$ .

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Schritt 3.4.3.1.1

Schreibe ${(x - 4)}^{2}$ als $(x - 4) (x - 4)$ um.

$y + 4 = (x - 4) (x - 4)$

Schritt 3.4.3.1.2

Multipliziere $(x - 4) (x - 4)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 3.4.3.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 4 = x (x - 4) - 4 (x - 4)$

Schritt 3.4.3.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 4 = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 (x - 4)$

Schritt 3.4.3.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$y + 4 = x \cdot x + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.4.3.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 3.4.3.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.4.3.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$y + 4 = x^{2} + x \cdot - 4 - 4 x - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.4.3.1.3.1.2

Bringe $- 4$ auf die linke Seite von $x$ .

$y + 4 = x^{2} - 4 \cdot x - 4 x - 4 \cdot - 4$

Schritt 3.4.3.1.3.1.3

Mutltipliziere $- 4$ mit $- 4$ .

$y + 4 = x^{2} - 4 x - 4 x + 16$

Schritt 3.4.3.1.3.2

Subtrahiere $4 x$ von $- 4 x$ .

$y + 4 = x^{2} - 8 x + 16$

Schritt 3.5

Bringe alle Terme, die nicht $y$ enthalten, auf die rechte Seite der Gleichung.

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Schritt 3.5.1

Subtrahiere $4$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y = x^{2} - 8 x + 16 - 4$

Schritt 3.5.2

Subtrahiere $4$ von $16$ .

$y = x^{2} - 8 x + 12$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = {(4 + \sqrt{x + 4})}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.1

Schreibe ${(4 + \sqrt{x + 4})}^{2}$ als $(4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4})$ um.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = (4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.2

Multipliziere $(4 + \sqrt{x + 4}) (4 + \sqrt{x + 4})$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 5.2.3.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 (4 + \sqrt{x + 4}) + \sqrt{x + 4} (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 \cdot 4 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} (4 + \sqrt{x + 4}) - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 4 \cdot 4 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot 4 + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 5.2.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.3.3.1.1

Mutltipliziere $4$ mit $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \cdot 4 + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.3.1.2

Bringe $4$ auf die linke Seite von $\sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.3.1.3

Multipliziere $\sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4}$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.3.1

Potenziere $\sqrt{x + 4}$ mit $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + \sqrt{x + 4} \sqrt{x + 4} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.3.1.3.2

Wende die Exponentenregel $a^{m} a^{n} = a^{m + n}$ an, um die Exponenten zu kombinieren.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {\sqrt{x + 4}}^{1 + 1} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.3.1.3.3

Addiere $1$ und $1$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {\sqrt{x + 4}}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.3.1.4

Schreibe ${\sqrt{x + 4}}^{2}$ als $x + 4$ um.

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Schritt 5.2.3.3.1.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt{x + 4}$ als ${(x + 4)}^{\frac{1}{2}}$ neu zu schreiben.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {({(x + 4)}^{\frac{1}{2}})}^{2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.3.1.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{1}{2} \cdot 2} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.3.1.4.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $2$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.3.1.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.3.1.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + {(x + 4)}^{\frac{2}{2}} - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.3.1.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x + 4 - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.3.1.4.5

Vereinfache.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 16 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x + 4 - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.3.2

Addiere $16$ und $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 4 \sqrt{x + 4} + 4 \sqrt{x + 4} + x - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.3.3

Addiere $4 \sqrt{x + 4}$ und $4 \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 8 (4 + \sqrt{x + 4}) + 12$

Schritt 5.2.3.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 8 \cdot 4 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$

Schritt 5.2.3.5

Mutltipliziere $- 8$ mit $4$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 32 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$

Schritt 5.2.4

Vereinfache durch Addieren von Termen.

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Schritt 5.2.4.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $20 + 8 \sqrt{x + 4} + x - 32 - 8 \sqrt{x + 4} + 12$ .

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Schritt 5.2.4.1.1

Subtrahiere $8 \sqrt{x + 4}$ von $8 \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + x - 32 + 0 + 12$

Schritt 5.2.4.1.2

Addiere $20 + x - 32$ und $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = 20 + x - 32 + 12$

Schritt 5.2.4.2

Subtrahiere $32$ von $20$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x - 12 + 12$

Schritt 5.2.4.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 12 + 12$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Addiere $- 12$ und $12$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x + 0$

Schritt 5.2.4.3.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (4 + \sqrt{x + 4}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (x^{2} - 8 x + 12)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{(x^{2} - 8 x + 12) + 4}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Addiere $12$ und $4$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 8 x + 16}$

Schritt 5.3.3.2

Faktorisiere unter Verwendung der binomischen Formeln.

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Schritt 5.3.3.2.1

Schreibe $16$ als $4^{2}$ um.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 8 x + 4^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.2

Überprüfe, ob der mittlere Term das Zweifache des Produkts der Zahlen ist, die im ersten Term und im dritten Term quadriert werden.

$8 x = 2 \cdot x \cdot 4$

Schritt 5.3.3.2.3

Schreibe das Polynom neu.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{x^{2} - 2 \cdot x \cdot 4 + 4^{2}}$

Schritt 5.3.3.2.4

Faktorisiere mithilfe der trinomischen Formel für das perfekte Quadrat $a^{2} - 2 a b + b^{2} = {(a - b)}^{2}$ , wobei $a = x$ und $b = 4$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + \sqrt{{(x - 4)}^{2}}$

Schritt 5.3.3.3

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$f (x^{2} - 8 x + 12) = 4 + x - 4$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $4 + x - 4$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $4$ von $4$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (x^{2} - 8 x + 12) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 4 + \sqrt{x + 4}$ .

$f^{- 1} (x) = x^{2} - 8 x + 12$