Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 x - 10$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 4 x - 10$ als Gleichung.

$y = 4 x - 10$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 4 y - 10$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $4 y - 10 = x$ um.

$4 y - 10 = x$

Schritt 3.2

Addiere $10$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$4 y = x + 10$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x + 10$ durch $4$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $4 y = x + 10$ durch $4$ .

$\frac{4 y}{4} = \frac{x}{4} + \frac{10}{4}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{4 y}{4} = \frac{x}{4} + \frac{10}{4}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{4} + \frac{10}{4}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10$ und $4$ .

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Schritt 3.3.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $10$ heraus.

$y = \frac{x}{4} + \frac{2 (5)}{4}$

Schritt 3.3.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 3.3.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$y = \frac{x}{4} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{x}{4} + \frac{2 \cdot 5}{2 \cdot 2}$

Schritt 3.3.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{x}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{4} + \frac{5}{2}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 4 x - 10$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (4 x - 10)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (4 x - 10) = \frac{4 x - 10}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4 x - 10$ und $4$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4 x$ heraus.

$f^{- 1} (4 x - 10) = \frac{2 (2 x) - 10}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $2$ aus $- 10$ heraus.

$f^{- 1} (4 x - 10) = \frac{2 (2 x) + 2 (- 5)}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x) + 2 (- 5)$ heraus.

$f^{- 1} (4 x - 10) = \frac{2 (2 x - 5)}{4} + \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f^{- 1} (4 x - 10) = \frac{2 (2 x - 5)}{2 (2)} + \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 x - 10) = \frac{2 (2 x - 5)}{2 \cdot 2} + \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (4 x - 10) = \frac{2 x - 5}{2} + \frac{5}{2}$

Schritt 5.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (4 x - 10) = \frac{2 x - 5 + 5}{2}$

Schritt 5.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 x - 5 + 5$ .

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Schritt 5.2.5.1

Addiere $- 5$ und $5$ .

$f^{- 1} (4 x - 10) = \frac{2 x + 0}{2}$

Schritt 5.2.5.2

Addiere $2 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (4 x - 10) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.6.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (4 x - 10) = \frac{2 x}{2}$

Schritt 5.2.6.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (4 x - 10) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{4} + \frac{5}{2})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{4} + \frac{5}{2}) = 4 (\frac{x}{4} + \frac{5}{2}) - 10$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{4} + \frac{5}{2}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (\frac{5}{2}) - 10$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{4} + \frac{5}{2}) = 4 (\frac{x}{4}) + 4 (\frac{5}{2}) - 10$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{4} + \frac{5}{2}) = x + 4 (\frac{5}{2}) - 10$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$f (\frac{x}{4} + \frac{5}{2}) = x + 2 (2) (\frac{5}{2}) - 10$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{4} + \frac{5}{2}) = x + 2 \cdot (2 (\frac{5}{2})) - 10$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{4} + \frac{5}{2}) = x + 2 \cdot 5 - 10$

Schritt 5.3.3.4

Mutltipliziere $2$ mit $5$ .

$f (\frac{x}{4} + \frac{5}{2}) = x + 10 - 10$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 10 - 10$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $10$ von $10$ .

$f (\frac{x}{4} + \frac{5}{2}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{4} + \frac{5}{2}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{4} + \frac{5}{2}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 4 x - 10$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{4} + \frac{5}{2}$