Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ als Gleichung.

$y = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 5 \arcsin (5 y - 1) + 2$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $5 \arcsin (5 y - 1) + 2 = x$ um.

$5 \arcsin (5 y - 1) + 2 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $5 \arcsin (5 y - 1) = x - 2$ durch $5$ .

$\frac{5 \arcsin (5 y - 1)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 \arcsin (5 y - 1)}{5} = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $\arcsin (5 y - 1)$ durch $1$ .

$\arcsin (5 y - 1) = \frac{x}{5} + \frac{- 2}{5}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\arcsin (5 y - 1) = \frac{x}{5} - \frac{2}{5}$

Schritt 3.4

Nimm den inversen Arcussinus von beiden Seiten der Gleichung, um $y$ aus dem Arcussinus zu ziehen.

$5 y - 1 = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$

Schritt 3.5

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$

Schritt 3.6

Teile jeden Ausdruck in $5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$ durch $5$ und vereinfache.

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Schritt 3.6.1

Teile jeden Ausdruck in $5 y = \sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1$ durch $5$ .

$\frac{5 y}{5} = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 3.6.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.6.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 3.6.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{5 y}{5} = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 3.6.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2}{5} - \frac{2}{5}) + 1}{5}$

Schritt 5.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.2.4.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 2 - 2}{5}) + 1}{5}$

Schritt 5.2.4.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 \arcsin (5 x - 1) + 2 - 2$ .

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Schritt 5.2.4.2.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1) + 0}{5}) + 1}{5}$

Schritt 5.2.4.2.2

Addiere $5 \arcsin (5 x - 1)$ und $0$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1)}{5}) + 1}{5}$

Schritt 5.2.4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.4.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\frac{5 \arcsin (5 x - 1)}{5}) + 1}{5}$

Schritt 5.2.4.3.2

Dividiere $\arcsin (5 x - 1)$ durch $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{\sin (\arcsin (5 x - 1)) + 1}{5}$

Schritt 5.2.4.4

Die Funktionen Sinus und Arkussinus sind Inverse.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x - 1 + 1}{5}$

Schritt 5.2.5

Vereinfache Terme.

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Schritt 5.2.5.1

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $5 x - 1 + 1$ .

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Schritt 5.2.5.1.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x + 0}{5}$

Schritt 5.2.5.1.2

Addiere $5 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.2.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = \frac{5 x}{5}$

Schritt 5.2.5.2.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (5 \arcsin (5 x - 1) + 2) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) - 1) + 2$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Schritt 5.3.3.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (5 (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Schritt 5.3.3.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Schritt 5.3.3.1.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 5.3.3.1.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 5 (\frac{1}{5}) - 1) + 2$

Schritt 5.3.3.1.3.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1 - 1) + 2$

Schritt 5.3.3.2

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 1 - 1$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5}) + 0) + 2$

Schritt 5.3.3.2.2

Addiere $\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})$ und $0$ .

$f (\frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}) = 5 \arcsin (\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})) + 2$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 5 \arcsin (5 x - 1) + 2$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\sin (\frac{x}{5} - \frac{2}{5})}{5} + \frac{1}{5}$