Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 10 x + 20$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 10 x + 20$ als Gleichung.

$y = 10 x + 20$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 10 y + 20$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $10 y + 20 = x$ um.

$10 y + 20 = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $20$ von beiden Seiten der Gleichung.

$10 y = x - 20$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $10 y = x - 20$ durch $10$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $10 y = x - 20$ durch $10$ .

$\frac{10 y}{10} = \frac{x}{10} + \frac{- 20}{10}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{10 y}{10} = \frac{x}{10} + \frac{- 20}{10}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{10} + \frac{- 20}{10}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Dividiere $- 20$ durch $10$ .

$y = \frac{x}{10} - 2$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - 2$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 10 x + 20$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (10 x + 20)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (10 x + 20) = \frac{10 x + 20}{10} - 2$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $10 x + 20$ und $10$ .

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Schritt 5.2.3.1

Faktorisiere $10$ aus $10 x$ heraus.

$f^{- 1} (10 x + 20) = \frac{10 (x) + 20}{10} - 2$

Schritt 5.2.3.2

Faktorisiere $10$ aus $20$ heraus.

$f^{- 1} (10 x + 20) = \frac{10 (x) + 10 \cdot 2}{10} - 2$

Schritt 5.2.3.3

Faktorisiere $10$ aus $10 (x) + 10 (2)$ heraus.

$f^{- 1} (10 x + 20) = \frac{10 (x + 2)}{10} - 2$

Schritt 5.2.3.4

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 5.2.3.4.1

Faktorisiere $10$ aus $10$ heraus.

$f^{- 1} (10 x + 20) = \frac{10 (x + 2)}{10 (1)} - 2$

Schritt 5.2.3.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (10 x + 20) = \frac{10 (x + 2)}{10 \cdot 1} - 2$

Schritt 5.2.3.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f^{- 1} (10 x + 20) = \frac{x + 2}{1} - 2$

Schritt 5.2.3.4.4

Dividiere $x + 2$ durch $1$ .

$f^{- 1} (10 x + 20) = x + 2 - 2$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x + 2 - 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (10 x + 20) = x + 0$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (10 x + 20) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{10} - 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{10} - 2) = 10 (\frac{x}{10} - 2) + 20$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{10} - 2) = 10 (\frac{x}{10}) + 10 \cdot - 2 + 20$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $10$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{10} - 2) = 10 (\frac{x}{10}) + 10 \cdot - 2 + 20$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{10} - 2) = x + 10 \cdot - 2 + 20$

Schritt 5.3.3.3

Mutltipliziere $10$ mit $- 2$ .

$f (\frac{x}{10} - 2) = x - 20 + 20$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 20 + 20$ .

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Schritt 5.3.4.1

Addiere $- 20$ und $20$ .

$f (\frac{x}{10} - 2) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{10} - 2) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 10 x + 20$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{10} - 2$