Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 (3^{x})$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 (3^{x})$ als Gleichung.

$y = 2 (3^{x})$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 (3^{y})$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 \cdot 3^{y} = x$ um.

$2 \cdot 3^{y} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $2 \cdot 3^{y} = x$ durch $2$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $2 \cdot 3^{y} = x$ durch $2$ .

$\frac{2 \cdot 3^{y}}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{2 \cdot 3^{y}}{2} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $3^{y}$ durch $1$ .

$3^{y} = \frac{x}{2}$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (3^{y}) = \ln (\frac{x}{2})$

Schritt 3.4

Zerlege $\ln (3^{y})$ durch Herausziehen von $y$ aus dem Logarithmus.

$y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2})$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2})$ durch $\ln (3)$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $y \ln (3) = \ln (\frac{x}{2})$ durch $\ln (3)$ .

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2})}{\ln (3)}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{y \ln (3)}{\ln (3)} = \frac{\ln (\frac{x}{2})}{\ln (3)}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (\frac{x}{2})}{\ln (3)}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2})}{\ln (3)}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2})}{\ln (3)}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 (3^{x})$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 (3^{x}))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 (3^{x})) = \frac{\ln (\frac{2 (3^{x})}{2})}{\ln (3)}$

Schritt 5.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.2.3.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 (3^{x})) = \frac{\ln (\frac{2 \cdot 3^{x}}{2})}{\ln (3)}$

Schritt 5.2.3.2

Dividiere $3^{x}$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 (3^{x})) = \frac{\ln (3^{x})}{\ln (3)}$

Schritt 5.2.4

Zerlege $\ln (3^{x})$ durch Herausziehen von $x$ aus dem Logarithmus.

$f^{- 1} (2 (3^{x})) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $\ln (3)$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 (3^{x})) = \frac{x \ln (3)}{\ln (3)}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 (3^{x})) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{\ln (\frac{x}{2})}{\ln (3)})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2})}{\ln (3)}) = 2 (3^{\frac{\ln (\frac{x}{2})}{\ln (3)}})$

Schritt 5.3.3

Nutze die Änderung der Basis-Regel $\frac{\log_{b} (x)}{\log_{b} (a)} = \log_{a} (x)$ .

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2})}{\ln (3)}) = 2 \cdot 3^{\log_{3} (\frac{x}{2})}$

Schritt 5.3.4

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2})}{\ln (3)}) = 2 \cdot \frac{x}{2}$

Schritt 5.3.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 5.3.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2})}{\ln (3)}) = 2 \cdot \frac{x}{2}$

Schritt 5.3.5.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{\ln (\frac{x}{2})}{\ln (3)}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2})}{\ln (3)}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 (3^{x})$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{\ln (\frac{x}{2})}{\ln (3)}$