Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 + 3 x$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 2 + 3 x$ als Gleichung.

$y = 2 + 3 x$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 2 + 3 y$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $2 + 3 y = x$ um.

$2 + 3 y = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $2$ von beiden Seiten der Gleichung.

$3 y = x - 2$

Schritt 3.3

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x - 2$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 3.3.1

Teile jeden Ausdruck in $3 y = x - 2$ durch $3$ .

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 y}{3} = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.3.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{x}{3} + \frac{- 2}{3}$

Schritt 3.3.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.3.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 2 + 3 x$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (2 + 3 x)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (2 + 3 x) = \frac{2 + 3 x}{3} - \frac{2}{3}$

Schritt 5.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f^{- 1} (2 + 3 x) = \frac{2 + 3 x - 2}{3}$

Schritt 5.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 + 3 x - 2$ .

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Schritt 5.2.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f^{- 1} (2 + 3 x) = \frac{3 x + 0}{3}$

Schritt 5.2.4.2

Addiere $3 x$ und $0$ .

$f^{- 1} (2 + 3 x) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.2.5.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f^{- 1} (2 + 3 x) = \frac{3 x}{3}$

Schritt 5.2.5.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$f^{- 1} (2 + 3 x) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + 3 (\frac{x}{3} - \frac{2}{3})$

Schritt 5.3.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 5.3.3.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{2}{3})$

Schritt 5.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + 3 (\frac{x}{3}) + 3 (- \frac{2}{3})$

Schritt 5.3.3.2.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + x + 3 (- \frac{2}{3})$

Schritt 5.3.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2}{3}$ in den Zähler.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + x + 3 (\frac{- 2}{3})$

Schritt 5.3.3.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + x + 3 (\frac{- 2}{3})$

Schritt 5.3.3.3.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = 2 + x - 2$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $2 + x - 2$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\frac{x}{3} - \frac{2}{3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 2 + 3 x$ .

$f^{- 1} (x) = \frac{x}{3} - \frac{2}{3}$