Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 + x^{3}$

Schritt 1

Schreibe $f (x) = 3 + x^{3}$ als Gleichung.

$y = 3 + x^{3}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 3 + y^{3}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $3 + y^{3} = x$ um.

$3 + y^{3} = x$

Schritt 3.2

Subtrahiere $3$ von beiden Seiten der Gleichung.

$y^{3} = x - 3$

Schritt 3.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y = \sqrt[3]{x - 3}$

Schritt 4

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 3}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 3}$ die Umkehrfunktion von $f (x) = 3 + x^{3}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $f^{- 1} (3 + x^{3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (3 + x^{3}) = \sqrt[3]{(3 + x^{3}) - 3}$

Schritt 5.2.3

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f^{- 1} (3 + x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3} + 0}$

Schritt 5.2.4

Addiere $x^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} (3 + x^{3}) = \sqrt[3]{x^{3}}$

Schritt 5.2.5

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} (3 + x^{3}) = x$

Schritt 5.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{x - 3})$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{x - 3}) = 3 + {(\sqrt[3]{x - 3})}^{3}$

Schritt 5.3.3

Schreibe ${\sqrt[3]{x - 3}}^{3}$ als $x - 3$ um.

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Schritt 5.3.3.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 3}$ als ${(x - 3)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{x - 3}) = 3 + {({(x - 3)}^{\frac{1}{3}})}^{3}$

Schritt 5.3.3.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 3}) = 3 + {(x - 3)}^{\frac{1}{3} \cdot 3}$

Schritt 5.3.3.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{x - 3}) = 3 + {(x - 3)}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 5.3.3.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 5.3.3.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{x - 3}) = 3 + {(x - 3)}^{\frac{3}{3}}$

Schritt 5.3.3.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{x - 3}) = 3 + x - 3$

Schritt 5.3.3.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{x - 3}) = 3 + x - 3$

Schritt 5.3.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $3 + x - 3$ .

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Schritt 5.3.4.1

Subtrahiere $3$ von $3$ .

$f (\sqrt[3]{x - 3}) = x + 0$

Schritt 5.3.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 3}) = x$

Schritt 5.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 3}$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = 3 + x^{3}$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 3}$