Elementarmathematik Beispiele

$h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$

Schritt 1

Schreibe $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ als Gleichung.

$y = - \frac{4}{x^{2}}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = - \frac{4}{y^{2}}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $- \frac{4}{y^{2}} = x$ um.

$- \frac{4}{y^{2}} = x$

Schritt 3.2

Finde den Hauptnenner der Terme in der Gleichung.

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Schritt 3.2.1

Den Hauptnenner einer Liste von Werten zu bestimmen, ist das gleiche wie das kgV der Nenner dieser Werte zu bestimmen.

$y^{2}, 1$

Schritt 3.2.2

Das kleinste gemeinsame Vielfache eines beliebigen Ausdrucks ist der Ausdruck.

$y^{2}$

Schritt 3.3

Multipliziere jeden Term in $- \frac{4}{y^{2}} = x$ mit $y^{2}$ um die Brüche zu eliminieren.

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Schritt 3.3.1

Multipliziere jeden Term in $- \frac{4}{y^{2}} = x$ mit $y^{2}$ .

$- \frac{4}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

Schritt 3.3.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $y^{2}$ .

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Schritt 3.3.2.1.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{4}{y^{2}}$ in den Zähler.

$\frac{- 4}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

Schritt 3.3.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{- 4}{y^{2}} y^{2} = x y^{2}$

Schritt 3.3.2.1.3

Forme den Ausdruck um.

$- 4 = x y^{2}$

Schritt 3.4

Löse die Gleichung.

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Schritt 3.4.1

Schreibe die Gleichung als $x y^{2} = - 4$ um.

$x y^{2} = - 4$

Schritt 3.4.2

Teile jeden Ausdruck in $x y^{2} = - 4$ durch $x$ und vereinfache.

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Schritt 3.4.2.1

Teile jeden Ausdruck in $x y^{2} = - 4$ durch $x$ .

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{- 4}{x}$

Schritt 3.4.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.4.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $x$ .

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Schritt 3.4.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{x y^{2}}{x} = \frac{- 4}{x}$

Schritt 3.4.2.2.1.2

Dividiere $y^{2}$ durch $1$ .

$y^{2} = \frac{- 4}{x}$

Schritt 3.4.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.4.2.3.1

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$y^{2} = - \frac{4}{x}$

Schritt 3.4.3

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$y = \pm \sqrt{- \frac{4}{x}}$

Schritt 3.4.4

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

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Schritt 3.4.4.1

Verwende zunächst den positiven Wert des $\pm$ , um die erste Lösung zu finden.

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

Schritt 3.4.4.2

Als Nächstes verwende den negativen Wert von $\pm$ , um die zweite Lösung zu finden.

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

Schritt 3.4.4.3

Die vollständige Lösung ist das Ergebnis des positiven und des negativen Teils der Lösung.

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = \sqrt{- \frac{4}{x}}$

$y = - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

Schritt 4

Replace $y$ with $h^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

Schritt 5

Überprüfe, ob $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ die Umkehrfunktion von $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ ist.

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Schritt 5.1

Der Definitionsbereich der Inversen (Umkehrfunktion) ist der Wertebereich der ursprünglichen Funktion und umgekehrt. Finde den Definitionsbereich und den Wertebereich von $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ und $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ und vergleiche sie.

Schritt 5.2

Finde den Wertebereich von $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ .

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Schritt 5.2.1

Der Wertebereich ist die Menge aller gültigen $y$ -Werte. Ermittle den Wertebereich mithilfe des Graphen.

Intervallschreibweise:

$(- \infty, 0)$

Schritt 5.3

Bestimme den Definitionsbereich von $\sqrt{- \frac{4}{x}}$ .

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Schritt 5.3.1

Setze den Radikanden in $\sqrt{- \frac{4}{x}}$ größer als oder gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$- \frac{4}{x} \geq 0$

Schritt 5.3.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.3.2.1

Bestimme alle die Werte, für die der Ausdruck von negativ nach positiv wechselt durch Gleichsetzen jedes Faktors mit $0$ und auflösen.

$x = 0$

Schritt 5.3.2.2

Bestimme den Definitionsbereich von $- \frac{4}{x}$ .

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Schritt 5.3.2.2.1

Setze den Nenner in $\frac{4}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 5.3.2.2.2

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5.3.2.3

Die Lösung besteht aus allen wahren Intervallen.

$x < 0$

Schritt 5.3.3

Setze den Nenner in $\frac{4}{x}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x = 0$

Schritt 5.3.4

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0)$

Schritt 5.4

Bestimme den Definitionsbereich von $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ .

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Schritt 5.4.1

Setze den Nenner in $\frac{4}{x^{2}}$ gleich $0$ , um zu ermitteln, wo der Ausdruck nicht definiert ist.

$x^{2} = 0$

Schritt 5.4.2

Löse nach $x$ auf.

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Schritt 5.4.2.1

Take the specified root of both sides of the equation to eliminate the exponent on the left side.

$x = \pm \sqrt{0}$

Schritt 5.4.2.2

Vereinfache $\pm \sqrt{0}$ .

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Schritt 5.4.2.2.1

Schreibe $0$ als $0^{2}$ um.

$x = \pm \sqrt{0^{2}}$

Schritt 5.4.2.2.2

Ziehe Terme aus der Wurzel heraus unter der Annahme positiver reeller Zahlen.

$x = \pm 0$

Schritt 5.4.2.2.3

Plus oder Minus $0$ ist $0$ .

$x = 0$

Schritt 5.4.3

Der Definitionsbereich umfasst alle Werte von $x$ , für die der Ausdruck definiert ist.

$(- \infty, 0) \cup (0, \infty)$

Schritt 5.5

Da der Definitionsbereich von $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ der Wertebereich von $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ ist und der Wertebereich von $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ der Definitionsbereich von $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ ist, ist $h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$ die inverse Funktion von $h (x) = - \frac{4}{x^{2}}$ .

$h^{- 1} (x) = \sqrt{- \frac{4}{x}}, - \sqrt{- \frac{4}{x}}$

Schritt 6