Elementarmathematik Beispiele

$p (x) = 37.3 e^{0.017 x}$

Schritt 1

Schreibe $p (x) = 37.3 e^{0.017 x}$ als Gleichung.

$y = 37.3 e^{0.017 x}$

Schritt 2

Vertausche die Variablen.

$x = 37.3 e^{0.017 y}$

Schritt 3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 3.1

Schreibe die Gleichung als $37.3 e^{0.017 y} = x$ um.

$37.3 e^{0.017 y} = x$

Schritt 3.2

Teile jeden Ausdruck in $37.3 e^{0.017 y} = x$ durch $37.3$ und vereinfache.

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Schritt 3.2.1

Teile jeden Ausdruck in $37.3 e^{0.017 y} = x$ durch $37.3$ .

$\frac{37.3 e^{0.017 y}}{37.3} = \frac{x}{37.3}$

Schritt 3.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $37.3$ .

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Schritt 3.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{37.3 e^{0.017 y}}{37.3} = \frac{x}{37.3}$

Schritt 3.2.2.1.2

Dividiere $e^{0.017 y}$ durch $1$ .

$e^{0.017 y} = \frac{x}{37.3}$

Schritt 3.2.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.2.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$e^{0.017 y} = \frac{1 x}{37.3}$

Schritt 3.2.3.2

Faktorisiere $37.3$ aus $37.3$ heraus.

$e^{0.017 y} = \frac{1 x}{37.3 (1)}$

Schritt 3.2.3.3

Separiere Brüche.

$e^{0.017 y} = \frac{1}{37.3} \cdot \frac{x}{1}$

Schritt 3.2.3.4

Dividiere $1$ durch $37.3$ .

$e^{0.017 y} = 0.02680965 \frac{x}{1}$

Schritt 3.2.3.5

Dividiere $x$ durch $1$ .

$e^{0.017 y} = 0.02680965 x$

Schritt 3.3

Berechne von beiden Seiten der Gleichung den natürlichen Logarithmus, um die Variable vom Exponenten zu entfernen.

$\ln (e^{0.017 y}) = \ln (0.02680965 x)$

Schritt 3.4

Multipliziere die linke Seite aus.

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Schritt 3.4.1

Zerlege $\ln (e^{0.017 y})$ durch Herausziehen von $0.017 y$ aus dem Logarithmus.

$0.017 y \ln (e) = \ln (0.02680965 x)$

Schritt 3.4.2

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$0.017 y \cdot 1 = \ln (0.02680965 x)$

Schritt 3.4.3

Mutltipliziere $0.017$ mit $1$ .

$0.017 y = \ln (0.02680965 x)$

Schritt 3.5

Teile jeden Ausdruck in $0.017 y = \ln (0.02680965 x)$ durch $0.017$ und vereinfache.

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Schritt 3.5.1

Teile jeden Ausdruck in $0.017 y = \ln (0.02680965 x)$ durch $0.017$ .

$\frac{0.017 y}{0.017} = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}$

Schritt 3.5.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 3.5.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $0.017$ .

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Schritt 3.5.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{0.017 y}{0.017} = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}$

Schritt 3.5.2.1.2

Dividiere $y$ durch $1$ .

$y = \frac{\ln (0.02680965 x)}{0.017}$

Schritt 3.5.3

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 3.5.3.1

Multipliziere mit $1$ .

$y = \frac{1 \ln (0.02680965 x)}{0.017}$

Schritt 3.5.3.2

Faktorisiere $0.017$ aus $0.017$ heraus.

$y = \frac{1 \ln (0.02680965 x)}{0.017 (1)}$

Schritt 3.5.3.3

Separiere Brüche.

$y = \frac{1}{0.017} \cdot \frac{\ln (0.02680965 x)}{1}$

Schritt 3.5.3.4

Dividiere $1$ durch $0.017$ .

$y = 58.82352941 \frac{\ln (0.02680965 x)}{1}$

Schritt 3.5.3.5

Dividiere $\ln (0.02680965 x)$ durch $1$ .

$y = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$

Schritt 4

Replace $y$ with $p^{- 1} (x)$ to show the final answer.

$p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$

Schritt 5

Überprüfe, ob $p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$ die Umkehrfunktion von $p (x) = 37.3 e^{0.017 x}$ ist.

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Schritt 5.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $p^{- 1} (p (x)) = x$ ist und $p (p^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 5.2

Berechne $p^{- 1} (p (x))$ .

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Schritt 5.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$p^{- 1} (p (x))$

Schritt 5.2.2

Berechne $p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x})$ durch Einsetzen des Wertes von $p$ in $p^{- 1}$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 \ln (0.02680965 (37.3 e^{0.017 x}))$

Schritt 5.2.3

Mutltipliziere $37.3$ mit $0.02680965$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 \ln (1 e^{0.017 x})$

Schritt 5.2.4

Schreibe $\ln (1 e^{0.017 x})$ als $\ln (1) + \ln (e^{0.017 x})$ um.

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + \ln (e^{0.017 x}))$

Schritt 5.2.5

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $0.017 x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + 0.017 x \ln (e))$

Schritt 5.2.6

Der natürliche Logarithmus von $e$ ist $1$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + 0.017 x \cdot 1)$

Schritt 5.2.7

Mutltipliziere $0.017$ mit $1$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 (\ln (1) + 0.017 x)$

Schritt 5.2.8

Wende das Distributivgesetz an.

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = 58.82352941 \ln (1) + 58.82352941 (0.017 x)$

Schritt 5.2.9

Vereinfache $58.82352941 \ln (1)$ , indem du $58.82352941$ in den Logarithmus ziehst.

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1^{58.82352941}) + 58.82352941 (0.017 x)$

Schritt 5.2.10

Multipliziere $58.82352941 (0.017 x)$ .

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Schritt 5.2.10.1

Mutltipliziere $0.017$ mit $58.82352941$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1^{58.82352941}) + 1 x$

Schritt 5.2.10.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1^{58.82352941}) + x$

Schritt 5.2.11

Potenziere $1$ mit $58.82352941$ .

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = \ln (1) + x$

Schritt 5.2.12

Stelle $\ln (1)$ und $x$ um.

$p^{- 1} (37.3 e^{0.017 x}) = x + \ln (1)$

Schritt 5.3

Berechne $p (p^{- 1} (x))$ .

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Schritt 5.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$p (p^{- 1} (x))$

Schritt 5.3.2

Berechne $p (58.82352941 \ln (0.02680965 x))$ durch Einsetzen des Wertes von $p^{- 1}$ in $p$ .

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 (58.82352941 \ln (0.02680965 x))}$

Schritt 5.3.3

Vereinfache $58.82352941 \ln (0.02680965 x)$ , indem du $58.82352941$ in den Logarithmus ziehst.

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln ({(0.02680965 x)}^{58.82352941})}$

Schritt 5.3.4

Wende die Produktregel auf $0.02680965 x$ an.

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln ({0.02680965}^{58.82352941} x^{58.82352941})}$

Schritt 5.3.5

Potenziere $0.02680965$ mit $58.82352941$ .

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln (0 x^{58.82352941})}$

Schritt 5.3.6

Mutltipliziere $0$ mit $x^{58.82352941}$ .

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = 37.3 e^{0.017 \ln (0)}$

Schritt 5.3.7

Der natürliche Logarithmus von null ist nicht definiert.

$p (58.82352941 \ln (0.02680965 x)) = Undefined$

Schritt 5.4

Da $p^{- 1} (p (x)) = x$ und $p (p^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $p (x) = 37.3 e^{0.017 x}$ .

$p^{- 1} (x) = 58.82352941 \ln (0.02680965 x)$