Elementarmathematik Beispiele

$y = \log_{4} (x - 1)$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = \log_{4} (y - 1)$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als $\log_{4} (y - 1) = x$ um.

$\log_{4} (y - 1) = x$

Schritt 2.2

Schreibe $\log_{4} (y - 1) = x$ in eine Exponentialform indem du die Definition des Logarithmus verwendest. Wenn $x$ und $b$ positive reelle Zahlen sind und $b \neq 1$ ist, dann ist $\log_{b} (x) = y$ gleich $b^{y} = x$ .

$4^{x} = y - 1$

Schritt 2.3

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.3.1

Schreibe die Gleichung als $y - 1 = 4^{x}$ um.

$y - 1 = 4^{x}$

Schritt 2.3.2

Addiere $1$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = 4^{x} + 1$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$ die Umkehrfunktion von $f (x) = \log_{4} (x - 1)$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} (\log_{4} (x - 1))$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = 4^{\log_{4} (x - 1)} + 1$

Schritt 4.2.3

Exponentialfunktion und Logarithmusfunktion sind zueinander inverse Funktionen.

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = x - 1 + 1$

Schritt 4.2.4

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 1 + 1$ .

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Schritt 4.2.4.1

Addiere $- 1$ und $1$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = x + 0$

Schritt 4.2.4.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} (\log_{4} (x - 1)) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (4^{x} + 1)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (4^{x} + 1) = \log_{4} ((4^{x} + 1) - 1)$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $(4^{x} + 1) - 1$ .

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $1$ von $1$ .

$f (4^{x} + 1) = \log_{4} (4^{x} + 0)$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $4^{x}$ und $0$ .

$f (4^{x} + 1) = \log_{4} (4^{x})$

Schritt 4.3.4

Benutze die Rechenregeln für Logarithmen, um $x$ aus dem Exponenten zu ziehen.

$f (4^{x} + 1) = x \log_{4} (4)$

Schritt 4.3.5

Die logarithmische Basis $4$ von $4$ ist $1$ .

$f (4^{x} + 1) = x \cdot 1$

Schritt 4.3.6

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$f (4^{x} + 1) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = \log_{4} (x - 1)$ .

$f^{- 1} (x) = 4^{x} + 1$