Elementarmathematik Beispiele

$y = {(x - 2)}^{3} + 8$

Schritt 1

Vertausche die Variablen.

$x = {(y - 2)}^{3} + 8$

Schritt 2

Löse nach $y$ auf.

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Schritt 2.1

Schreibe die Gleichung als ${(y - 2)}^{3} + 8 = x$ um.

${(y - 2)}^{3} + 8 = x$

Schritt 2.2

Subtrahiere $8$ von beiden Seiten der Gleichung.

${(y - 2)}^{3} = x - 8$

Schritt 2.3

Ziehe die angegebene Wurzel auf beiden Seiten der Gleichung, um den Exponenten auf der linken Seite zu eliminieren.

$y - 2 = \sqrt[3]{x - 8}$

Schritt 2.4

Addiere $2$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$y = \sqrt[3]{x - 8} + 2$

Schritt 3

Ersetze $y$ durch $f^{- 1} (x)$ , um die endgültige Lösung anzuzeigen.

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 8} + 2$

Schritt 4

Überprüfe, ob $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 8} + 2$ die Umkehrfunktion von $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 8$ ist.

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Schritt 4.1

Um die inverse Funktion (Umkehrfunktion) zu prüfen, prüfe ob $f^{- 1} (f (x)) = x$ ist und $f (f^{- 1} (x)) = x$ ist.

Schritt 4.2

Berechne $f^{- 1} (f (x))$ .

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Schritt 4.2.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f^{- 1} (f (x))$

Schritt 4.2.2

Berechne $f^{- 1} ({(x - 2)}^{3} + 8)$ durch Einsetzen des Wertes von $f$ in $f^{- 1}$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3} + 8) = \sqrt[3]{({(x - 2)}^{3} + 8) - 8} + 2$

Schritt 4.2.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $\sqrt[3]{({(x - 2)}^{3} + 8) - 8} + 2$ .

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Schritt 4.2.3.1

Subtrahiere $8$ von $8$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3} + 8) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3} + 0} + 2$

Schritt 4.2.3.2

Addiere ${(x - 2)}^{3}$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3} + 8) = \sqrt[3]{{(x - 2)}^{3}} + 2$

Schritt 4.2.4

Ziehe Terme von unter der Wurzel heraus unter der Annahme reeller Zahlen.

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3} + 8) = x - 2 + 2$

Schritt 4.2.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 2 + 2$ .

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Schritt 4.2.5.1

Addiere $- 2$ und $2$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3} + 8) = x + 0$

Schritt 4.2.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f^{- 1} ({(x - 2)}^{3} + 8) = x$

Schritt 4.3

Berechne $f (f^{- 1} (x))$ .

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Schritt 4.3.1

Bilde die verkettete Ergebnisfunktion.

$f (f^{- 1} (x))$

Schritt 4.3.2

Berechne $f (\sqrt[3]{x - 8} + 2)$ durch Einsetzen des Wertes von $f^{- 1}$ in $f$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = {((\sqrt[3]{x - 8} + 2) - 2)}^{3} + 8$

Schritt 4.3.3

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in ${((\sqrt[3]{x - 8} + 2) - 2)}^{3} + 8$ .

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Schritt 4.3.3.1

Subtrahiere $2$ von $2$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = {(\sqrt[3]{x - 8} + 0)}^{3} + 8$

Schritt 4.3.3.2

Addiere $\sqrt[3]{x - 8}$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = {\sqrt[3]{x - 8}}^{3} + 8$

Schritt 4.3.4

Schreibe ${\sqrt[3]{x - 8}}^{3}$ als $x - 8$ um.

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Schritt 4.3.4.1

Benutze $\sqrt[n]{a^{x}} = a^{\frac{x}{n}}$ , um $\sqrt[3]{x - 8}$ als ${(x - 8)}^{\frac{1}{3}}$ neu zu schreiben.

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = {({(x - 8)}^{\frac{1}{3}})}^{3} + 8$

Schritt 4.3.4.2

Wende die Potenzregel an und multipliziere die Exponenten, ${(a^{m})}^{n} = a^{m n}$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = {(x - 8)}^{\frac{1}{3} \cdot 3} + 8$

Schritt 4.3.4.3

Kombiniere $\frac{1}{3}$ und $3$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = {(x - 8)}^{\frac{3}{3}} + 8$

Schritt 4.3.4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 4.3.4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = {(x - 8)}^{\frac{3}{3}} + 8$

Schritt 4.3.4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = (x - 8) + 8$

Schritt 4.3.4.5

Vereinfache.

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = x - 8 + 8$

Schritt 4.3.5

Vereine die Terme mit entgegengesetztem Vorzeichen in $x - 8 + 8$ .

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Schritt 4.3.5.1

Addiere $- 8$ und $8$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = x + 0$

Schritt 4.3.5.2

Addiere $x$ und $0$ .

$f (\sqrt[3]{x - 8} + 2) = x$

Schritt 4.4

Da $f^{- 1} (f (x)) = x$ und $f (f^{- 1} (x)) = x$ gleich sind, ist $f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 8} + 2$ die inverse Funktion (Umkehrfunktion) von $f (x) = {(x - 2)}^{3} + 8$ .

$f^{- 1} (x) = \sqrt[3]{x - 8} + 2$