Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 x^{2} - 4 x - 2$

Schritt 1

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{- 4}{2 (3)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{- 4}{2 (3)}$

Schritt 2.3

Vereinfache $- \frac{- 4}{2 (3)}$ .

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Schritt 2.3.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 2.3.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 3$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 (3)}$

Schritt 2.3.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 3}$

Schritt 2.3.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{- 2}{3}$

Schritt 2.3.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$x = - - \frac{2}{3}$

Schritt 2.3.3

Multipliziere $- - \frac{2}{3}$ .

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Schritt 2.3.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$x = 1 (\frac{2}{3})$

Schritt 2.3.3.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3}$ mit $1$ .

$x = \frac{2}{3}$

Schritt 3

Berechne $f (\frac{2}{3})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 {(\frac{2}{3})}^{2} - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{2}{3}$ an.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{2^{2}}{3^{2}}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3^{2}}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $3$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{9}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Schritt 3.2.1.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 3.2.1.4.1

Faktorisiere $3$ aus $9$ heraus.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 (3)}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Schritt 3.2.1.4.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (\frac{2}{3}) = 3 (\frac{4}{3 \cdot 3}) - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Schritt 3.2.1.4.3

Forme den Ausdruck um.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - 4 (\frac{2}{3}) - 2$

Schritt 3.2.1.5

Multipliziere $- 4 (\frac{2}{3})$ .

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Schritt 3.2.1.5.1

Kombiniere $- 4$ und $\frac{2}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 4 \cdot 2}{3} - 2$

Schritt 3.2.1.5.2

Mutltipliziere $- 4$ mit $2$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} + \frac{- 8}{3} - 2$

Schritt 3.2.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{4}{3} - \frac{8}{3} - 2$

Schritt 3.2.2

Kombiniere Brüche.

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Schritt 3.2.2.1

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2}{3}) = - 2 + \frac{4 - 8}{3}$

Schritt 3.2.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.2.2.1

Subtrahiere $8$ von $4$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 2 + \frac{- 4}{3}$

Schritt 3.2.2.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2}{3}) = - 2 - \frac{4}{3}$

Schritt 3.2.3

Um $- 2$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = - 2 \cdot \frac{3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 3.2.4

Kombiniere $- 2$ und $\frac{3}{3}$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 2 \cdot 3}{3} - \frac{4}{3}$

Schritt 3.2.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 2 \cdot 3 - 4}{3}$

Schritt 3.2.6

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 3.2.6.1

Mutltipliziere $- 2$ mit $3$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 6 - 4}{3}$

Schritt 3.2.6.2

Subtrahiere $4$ von $- 6$ .

$f (\frac{2}{3}) = \frac{- 10}{3}$

Schritt 3.2.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (\frac{2}{3}) = - \frac{10}{3}$

Schritt 3.2.8

Die endgültige Lösung ist $- \frac{10}{3}$ .

$- \frac{10}{3}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(\frac{2}{3}, - \frac{10}{3})$

Schritt 5