Elementarmathematik Beispiele

$g (x) = 2 x^{2} + 6 x + 3$

Schritt 1

Das Minimum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ positiv ist, ist der Minimalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{min}$ $x = a x^{2} + b x + c$ tritt auf bei $x = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $x = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$x = - \frac{6}{2 (2)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$x = - \frac{6}{2 (2)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $6$ und $2$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 2$ heraus.

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 (2)}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$x = - \frac{2 \cdot 3}{2 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$x = - \frac{3}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{3}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $- \frac{3}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 {(- \frac{3}{2})}^{2} + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{3}{2}$ an.

$g (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{2} {(\frac{3}{2})}^{2}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $\frac{3}{2}$ an.

$g (- \frac{3}{2}) = 2 ({(- 1)}^{2} (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.2

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (1 (\frac{3^{2}}{2^{2}})) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.3

Mutltipliziere $\frac{3^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{3^{2}}{2^{2}}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.4

Potenziere $3$ mit $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2^{2}}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $2$ mit $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{4}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 (2)}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (- \frac{3}{2}) = 2 (\frac{9}{2 \cdot 2}) + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 6 (- \frac{3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 3.2.1.7.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{3}{2}$ in den Zähler.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 6 (\frac{- 3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.7.2

Faktorisiere $2$ aus $6$ heraus.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 (3) (\frac{- 3}{2}) + 3$

Schritt 3.2.1.7.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 2 \cdot (3 (\frac{- 3}{2})) + 3$

Schritt 3.2.1.7.4

Forme den Ausdruck um.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + 3 \cdot - 3 + 3$

Schritt 3.2.1.8

Mutltipliziere $3$ mit $- 3$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} - 9 + 3$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $- 9$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9}{1} + 3$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{- 9}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9}{1} \cdot \frac{2}{2} + 3$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{- 9}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + 3$

Schritt 3.2.2.4

Schreibe $3$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3}{1} \cdot \frac{2}{2}$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $\frac{3}{1}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9}{2} + \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{3 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 9 \cdot 2 + 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 3 \cdot 2}{2}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $3$ mit $2$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{9 - 18 + 6}{2}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 3.2.5.1

Subtrahiere $18$ von $9$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{- 9 + 6}{2}$

Schritt 3.2.5.2

Addiere $- 9$ und $6$ .

$g (- \frac{3}{2}) = \frac{- 3}{2}$

Schritt 3.2.5.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$g (- \frac{3}{2}) = - \frac{3}{2}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $- \frac{3}{2}$ .

$- \frac{3}{2}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Minimum auftritt.

$(- \frac{3}{2}, - \frac{3}{2})$

Schritt 5