Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{6}{5} \cdot (x^{2} + 2 x - 5)$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Vereinfache $\frac{6}{5} \cdot (x^{2} + 2 x - 5)$ .

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Schritt 1.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$y = \frac{6}{5} x^{2} + \frac{6}{5} (2 x) + \frac{6}{5} \cdot - 5$

Schritt 1.1.2

Vereinfache.

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Schritt 1.1.2.1

Kombiniere $\frac{6}{5}$ und $x^{2}$ .

$y = \frac{6 x^{2}}{5} + \frac{6}{5} (2 x) + \frac{6}{5} \cdot - 5$

Schritt 1.1.2.2

Multipliziere $\frac{6}{5} (2 x)$ .

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Schritt 1.1.2.2.1

Kombiniere $2$ und $\frac{6}{5}$ .

$y = \frac{6 x^{2}}{5} + \frac{2 \cdot 6}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 5$

Schritt 1.1.2.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $6$ .

$y = \frac{6 x^{2}}{5} + \frac{12}{5} x + \frac{6}{5} \cdot - 5$

Schritt 1.1.2.2.3

Kombiniere $\frac{12}{5}$ und $x$ .

$y = \frac{6 x^{2}}{5} + \frac{12 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot - 5$

Schritt 1.1.2.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.1.2.3.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5$ heraus.

$y = \frac{6 x^{2}}{5} + \frac{12 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot (5 (- 1))$

Schritt 1.1.2.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$y = \frac{6 x^{2}}{5} + \frac{12 x}{5} + \frac{6}{5} \cdot (5 \cdot - 1)$

Schritt 1.1.2.3.3

Forme den Ausdruck um.

$y = \frac{6 x^{2}}{5} + \frac{12 x}{5} + 6 \cdot - 1$

Schritt 1.1.2.4

Mutltipliziere $6$ mit $- 1$ .

$y = \frac{6 x^{2}}{5} + \frac{12 x}{5} - 6$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $\frac{6 x^{2}}{5} + \frac{12 x}{5} - 6$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = \frac{6}{5}$

$b = \frac{12}{5}$

$c = - 6$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{\frac{12}{5}}{2 (\frac{6}{5})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$d = \frac{12}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{6}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

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Schritt 1.2.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $12$ heraus.

$d = \frac{2 (6)}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{6}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 6}{5} \cdot \frac{1}{2 (\frac{6}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{6}{5} \cdot \frac{1}{\frac{6}{5}}$

Schritt 1.2.3.2.3

Mutltipliziere $\frac{6}{5}$ mit $\frac{1}{\frac{6}{5}}$ .

$d = \frac{6}{5 (\frac{6}{5})}$

Schritt 1.2.3.2.4

Kombiniere $5$ und $\frac{6}{5}$ .

$d = \frac{6}{\frac{5 \cdot 6}{5}}$

Schritt 1.2.3.2.5

Mutltipliziere $5$ mit $6$ .

$d = \frac{6}{\frac{30}{5}}$

Schritt 1.2.3.2.6

Kürze den gemeinsamen Teiler von $30$ und $5$ .

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Schritt 1.2.3.2.6.1

Faktorisiere $5$ aus $30$ heraus.

$d = \frac{6}{\frac{5 \cdot 6}{5}}$

Schritt 1.2.3.2.6.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.2.3.2.6.2.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$d = \frac{6}{\frac{5 \cdot 6}{5 (1)}}$

Schritt 1.2.3.2.6.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{6}{\frac{5 \cdot 6}{5 \cdot 1}}$

Schritt 1.2.3.2.6.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{6}{\frac{6}{1}}$

Schritt 1.2.3.2.6.2.4

Dividiere $6$ durch $1$ .

$d = \frac{6}{6}$

Schritt 1.2.3.2.7

Kürze den gemeinsamen Faktor von $6$ .

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Schritt 1.2.3.2.7.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{6}{6}$

Schritt 1.2.3.2.7.2

Forme den Ausdruck um.

$d = 1$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 6 - \frac{{(\frac{12}{5})}^{2}}{4 (\frac{6}{5})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.1.1.1

Wende die Produktregel auf $\frac{12}{5}$ an.

$e = - 6 - \frac{\frac{12^{2}}{5^{2}}}{4 (\frac{6}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.2

Potenziere $12$ mit $2$ .

$e = - 6 - \frac{\frac{144}{5^{2}}}{4 (\frac{6}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.1.3

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = - 6 - \frac{\frac{144}{25}}{4 (\frac{6}{5})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Kombiniere $4$ und $\frac{6}{5}$ .

$e = - 6 - \frac{\frac{144}{25}}{\frac{4 \cdot 6}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Mutltipliziere $4$ mit $6$ .

$e = - 6 - \frac{\frac{144}{25}}{\frac{24}{5}}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$e = - 6 - (\frac{144}{25} \cdot \frac{5}{24})$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Kürze den gemeinsamen Faktor von $24$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Faktorisiere $24$ aus $144$ heraus.

$e = - 6 - (\frac{24 (6)}{25} \cdot \frac{5}{24})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 6 - (\frac{24 \cdot 6}{25} \cdot \frac{5}{24})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - 6 - (\frac{6}{25} \cdot 5)$

Schritt 1.2.4.2.1.6

Kürze den gemeinsamen Faktor von $5$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.6.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$e = - 6 - (\frac{6}{5 (5)} \cdot 5)$

Schritt 1.2.4.2.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 6 - (\frac{6}{5 \cdot 5} \cdot 5)$

Schritt 1.2.4.2.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - 6 - \frac{6}{5}$

Schritt 1.2.4.2.2

Um $- 6$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{5}{5}$ .

$e = - 6 \cdot \frac{5}{5} - \frac{6}{5}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kombiniere $- 6$ und $\frac{5}{5}$ .

$e = \frac{- 6 \cdot 5}{5} - \frac{6}{5}$

Schritt 1.2.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 6 \cdot 5 - 6}{5}$

Schritt 1.2.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 6$ mit $5$ .

$e = \frac{- 30 - 6}{5}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Subtrahiere $6$ von $- 30$ .

$e = \frac{- 36}{5}$

Schritt 1.2.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{36}{5}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $\frac{6}{5} {(x + 1)}^{2} - \frac{36}{5}$ ein.

$\frac{6}{5} {(x + 1)}^{2} - \frac{36}{5}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = \frac{6}{5} \cdot {(x + 1)}^{2} - \frac{36}{5}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = \frac{6}{5}$

$h = - 1$

$k = - \frac{36}{5}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- 1, - \frac{36}{5})$

Schritt 4