Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{2} + 3 x + \frac{1}{4}$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $x^{2} + 3 x + \frac{1}{4}$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 1$

$b = 3$

$c = \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{3}{2 \cdot 1}$

Schritt 1.1.3.2

Mutltipliziere $2$ mit $1$ .

$d = \frac{3}{2}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = \frac{1}{4} - \frac{3^{2}}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $3$ mit $2$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{9}{4 \cdot 1}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $1$ .

$e = \frac{1}{4} - \frac{9}{4}$

Schritt 1.1.4.2.2

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{1 - 9}{4}$

Schritt 1.1.4.2.3

Subtrahiere $9$ von $1$ .

$e = \frac{- 8}{4}$

Schritt 1.1.4.2.4

Dividiere $- 8$ durch $4$ .

$e = - 2$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform ${(x + \frac{3}{2})}^{2} - 2$ ein.

${(x + \frac{3}{2})}^{2} - 2$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = {(x + \frac{3}{2})}^{2} - 2$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 1$

$h = - \frac{3}{2}$

$k = - 2$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{3}{2}, - 2)$

Schritt 4