Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - \frac{1}{2} x^{2} + 7 x - 9$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Kombiniere $x^{2}$ und $\frac{1}{2}$ .

$y = - \frac{x^{2}}{2} + 7 x - 9$

Schritt 1.2

Wende die quadratische Ergänzung auf $- \frac{x^{2}}{2} + 7 x - 9$ an.

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Schritt 1.2.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$b = 7$

$c = - 9$

Schritt 1.2.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.2.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.2.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{7}{2 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.3.2.1

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.3.2.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $2$ .

$d = \frac{7}{- 2 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.3.2.1.2

Kombiniere $- 2$ und $\frac{1}{2}$ .

$d = \frac{7}{\frac{- 2}{2}}$

Schritt 1.2.3.2.2

Dividiere $- 2$ durch $2$ .

$d = \frac{7}{- 1}$

Schritt 1.2.3.2.3

Dividiere $7$ durch $- 1$ .

$d = - 7$

Schritt 1.2.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.2.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 9 - \frac{7^{2}}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.2.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.2.4.2.1.1

Potenziere $7$ mit $2$ .

$e = - 9 - \frac{49}{4 (- \frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2

Vereinfache den Nenner.

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Schritt 1.2.4.2.1.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $4$ .

$e = - 9 - \frac{49}{- 4 (\frac{1}{2})}$

Schritt 1.2.4.2.1.2.2

Kombiniere $- 4$ und $\frac{1}{2}$ .

$e = - 9 - \frac{49}{\frac{- 4}{2}}$

Schritt 1.2.4.2.1.3

Dividiere $- 4$ durch $2$ .

$e = - 9 - \frac{49}{- 2}$

Schritt 1.2.4.2.1.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - 9 - - \frac{49}{2}$

Schritt 1.2.4.2.1.5

Multipliziere $- - \frac{49}{2}$ .

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Schritt 1.2.4.2.1.5.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - 9 + 1 (\frac{49}{2})$

Schritt 1.2.4.2.1.5.2

Mutltipliziere $\frac{49}{2}$ mit $1$ .

$e = - 9 + \frac{49}{2}$

Schritt 1.2.4.2.2

Um $- 9$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$e = - 9 \cdot \frac{2}{2} + \frac{49}{2}$

Schritt 1.2.4.2.3

Kombiniere $- 9$ und $\frac{2}{2}$ .

$e = \frac{- 9 \cdot 2}{2} + \frac{49}{2}$

Schritt 1.2.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 9 \cdot 2 + 49}{2}$

Schritt 1.2.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.2.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 9$ mit $2$ .

$e = \frac{- 18 + 49}{2}$

Schritt 1.2.4.2.5.2

Addiere $- 18$ und $49$ .

$e = \frac{31}{2}$

Schritt 1.2.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- \frac{1}{2} {(x - 7)}^{2} + \frac{31}{2}$ ein.

$- \frac{1}{2} {(x - 7)}^{2} + \frac{31}{2}$

Schritt 1.3

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - \frac{1}{2} \cdot {(x - 7)}^{2} + \frac{31}{2}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - \frac{1}{2}$

$h = 7$

$k = \frac{31}{2}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(7, \frac{31}{2})$

Schritt 4