Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 10 x^{2} + 5 x - 7$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $10 x^{2} + 5 x - 7$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 10$

$b = 5$

$c = - 7$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{5}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $5$ und $10$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $5$ aus $5$ heraus.

$d = \frac{5 (1)}{2 \cdot 10}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $5$ aus $2 \cdot 10$ heraus.

$d = \frac{5 (1)}{5 (2 \cdot 2)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{5 \cdot 1}{5 (2 \cdot 2)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2.2

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$d = \frac{1}{4}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 7 - \frac{5^{2}}{4 \cdot 10}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Potenziere $5$ mit $2$ .

$e = - 7 - \frac{25}{4 \cdot 10}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $10$ .

$e = - 7 - \frac{25}{40}$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $25$ und $40$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.3.1

Faktorisiere $5$ aus $25$ heraus.

$e = - 7 - \frac{5 (5)}{40}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.2.1.3.2.1

Faktorisiere $5$ aus $40$ heraus.

$e = - 7 - \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 8}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 7 - \frac{5 \cdot 5}{5 \cdot 8}$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - 7 - \frac{5}{8}$

Schritt 1.1.4.2.2

Um $- 7$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{8}{8}$ .

$e = - 7 \cdot \frac{8}{8} - \frac{5}{8}$

Schritt 1.1.4.2.3

Kombiniere $- 7$ und $\frac{8}{8}$ .

$e = \frac{- 7 \cdot 8}{8} - \frac{5}{8}$

Schritt 1.1.4.2.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$e = \frac{- 7 \cdot 8 - 5}{8}$

Schritt 1.1.4.2.5

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 1.1.4.2.5.1

Mutltipliziere $- 7$ mit $8$ .

$e = \frac{- 56 - 5}{8}$

Schritt 1.1.4.2.5.2

Subtrahiere $5$ von $- 56$ .

$e = \frac{- 61}{8}$

Schritt 1.1.4.2.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$e = - \frac{61}{8}$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $10 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{61}{8}$ ein.

$10 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{61}{8}$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 10 {(x + \frac{1}{4})}^{2} - \frac{61}{8}$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 10$

$h = - \frac{1}{4}$

$k = - \frac{61}{8}$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(- \frac{1}{4}, - \frac{61}{8})$

Schritt 4