Elementarmathematik Beispiele

$h (x) = 4 x^{2} - 4 x + 21$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $4 x^{2} - 4 x + 21$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = 4$

$b = - 4$

$c = 21$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{- 4}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 (4)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 2}{2 \cdot 4}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 2}{4}$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 2$ und $4$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$d = \frac{2 (- 1)}{4}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot - 1}{2 \cdot 2}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{- 1}{2}$

Schritt 1.1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = 21 - \frac{{(- 4)}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von ${(- 4)}^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1.1

Schreibe $- 4$ als $- 1 (4)$ um.

$e = 21 - \frac{{(- 1 (4))}^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.1.2

Wende die Produktregel auf $- 1 (4)$ an.

$e = 21 - \frac{{(- 1)}^{2} \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$e = 21 - \frac{1 \cdot 4^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.1.4

Mutltipliziere $4^{2}$ mit $1$ .

$e = 21 - \frac{4^{2}}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.1.5

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = 21 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.1.6

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.2.1.1.6.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot 4$ heraus.

$e = 21 - \frac{4 \cdot 4}{4 (4)}$

Schritt 1.1.4.2.1.1.6.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 21 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.1.6.3

Forme den Ausdruck um.

$e = 21 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $4$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = 21 - \frac{4}{4}$

Schritt 1.1.4.2.1.2.2

Forme den Ausdruck um.

$e = 21 - 1 \cdot 1$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = 21 - 1$

Schritt 1.1.4.2.2

Subtrahiere $1$ von $21$ .

$e = 20$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20$ ein.

$4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 20$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = 4$

$h = \frac{1}{2}$

$k = 20$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, 20)$

Schritt 4