Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = - 4 x^{2} + 4 x - 1$

Schritt 1

Schreibe die Gleichung in Scheitelform um.

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Schritt 1.1

Wende die quadratische Ergänzung auf $- 4 x^{2} + 4 x - 1$ an.

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Schritt 1.1.1

Wende die Form $a x^{2} + b x + c$ an, um die Werte für $a$ , $b$ und $c$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$b = 4$

$c = - 1$

Schritt 1.1.2

Betrachte die Scheitelform einer Parabel.

$a {(x + d)}^{2} + e$

Schritt 1.1.3

Ermittle den Wert von $d$ mithilfe der Formel $d = \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 1.1.3.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ in die Formel $d = \frac{b}{2 a}$ ein.

$d = \frac{4}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.3.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.3.2.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $2$ .

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Schritt 1.1.3.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.3.2.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.1.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 \cdot - 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 (- 4)}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 2}{2 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.3.2.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{2}{- 4}$

Schritt 1.1.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $2$ und $- 4$ .

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Schritt 1.1.3.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2$ heraus.

$d = \frac{2 (1)}{- 4}$

Schritt 1.1.3.2.2.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.3.2.2.2.1

Faktorisiere $2$ aus $- 4$ heraus.

$d = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$d = \frac{2 \cdot 1}{2 \cdot - 2}$

Schritt 1.1.3.2.2.2.3

Forme den Ausdruck um.

$d = \frac{1}{- 2}$

Schritt 1.1.3.2.3

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$d = - \frac{1}{2}$

Schritt 1.1.4

Ermittle den Wert von $e$ mithilfe der Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ .

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Schritt 1.1.4.1

Setze die Werte von $c$ , $b$ , und $a$ in die Formel $e = c - \frac{b^{2}}{4 a}$ ein.

$e = - 1 - \frac{4^{2}}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.4.2

Vereinfache die rechte Seite.

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Schritt 1.1.4.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 1.1.4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4^{2}$ und $4$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.1.1

Faktorisiere $4$ aus $4^{2}$ heraus.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.1.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 1.1.4.2.1.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4 \cdot - 4$ heraus.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 (- 4)}$

Schritt 1.1.4.2.1.1.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$e = - 1 - \frac{4 \cdot 4}{4 \cdot - 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.1.2.3

Forme den Ausdruck um.

$e = - 1 - \frac{4}{- 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.2

Kürze den gemeinsamen Teiler von $4$ und $- 4$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.2.1

Faktorisiere $4$ aus $4$ heraus.

$e = - 1 - \frac{4 (1)}{- 4}$

Schritt 1.1.4.2.1.2.2

Bringe die negative Eins aus dem Nenner von $\frac{1}{- 1}$ .

$e = - 1 - (- 1 \cdot 1)$

Schritt 1.1.4.2.1.3

Multipliziere $- (- 1 \cdot 1)$ .

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Schritt 1.1.4.2.1.3.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $1$ .

$e = - 1 - - 1$

Schritt 1.1.4.2.1.3.2

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$e = - 1 + 1$

Schritt 1.1.4.2.2

Addiere $- 1$ und $1$ .

$e = 0$

Schritt 1.1.5

Setze die Werte von $a$ , $d$ und $e$ in die Scheitelform $- 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 0$ ein.

$- 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 0$

Schritt 1.2

Setze $y$ gleich der neuen rechten Seite.

$y = - 4 {(x - \frac{1}{2})}^{2} + 0$

Schritt 2

Benutze die Scheitelpunktform, $y = a {(x - h)}^{2} + k$ , um die Werte von $a$ , $h$ und $k$ zu ermitteln.

$a = - 4$

$h = \frac{1}{2}$

$k = 0$

Schritt 3

Ermittle den Scheitelpunkt $(h, k)$ .

$(\frac{1}{2}, 0)$

Schritt 4