Elementarmathematik Beispiele

$f (t) = 100 - 49 t - 7 t^{2}$

Schritt 1

Das Maximum einer quadratischen Funktion tritt bei $x = - \frac{b}{2 a}$ auf. Wenn $a$ negativ ist, ist der Maximalwert der Funktion $f (- \frac{b}{2 a})$ .

$f_{max}$ $t = a t^{2} + b t + c$ tritt auf bei $t = - \frac{b}{2 a}$

Schritt 2

Ermittele den Wert von $t = - \frac{b}{2 a}$ .

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Schritt 2.1

Setze die Werte von $a$ und $b$ ein.

$t = - \frac{- 49}{2 (- 7)}$

Schritt 2.2

Entferne die Klammern.

$t = - \frac{- 49}{2 (- 7)}$

Schritt 2.3

Kürze den gemeinsamen Teiler von $- 49$ und $- 7$ .

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Schritt 2.3.1

Faktorisiere $- 7$ aus $- 49$ heraus.

$t = - \frac{- 7 (7)}{2 (- 7)}$

Schritt 2.3.2

Kürze die gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 2.3.2.1

Faktorisiere $- 7$ aus $2 (- 7)$ heraus.

$t = - \frac{- 7 (7)}{- 7 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$t = - \frac{- 7 \cdot 7}{- 7 \cdot 2}$

Schritt 2.3.2.3

Forme den Ausdruck um.

$t = - \frac{7}{2}$

Schritt 3

Berechne $f (- \frac{7}{2})$ .

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Schritt 3.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $t$ durch $- \frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 - 49 (- \frac{7}{2}) - 7 {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 3.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.1.1

Multipliziere $- 49 (- \frac{7}{2})$ .

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Schritt 3.2.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 49$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + 49 (\frac{7}{2}) - 7 {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.2

Kombiniere $49$ und $\frac{7}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{49 \cdot 7}{2} - 7 {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.1.3

Mutltipliziere $49$ mit $7$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - 7 {(- \frac{7}{2})}^{2}$

Schritt 3.2.1.2

Wende die Exponentenregel ${(a b)}^{n} = a^{n} b^{n}$ an, um den Exponenten zu verteilen.

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Schritt 3.2.1.2.1

Wende die Produktregel auf $- \frac{7}{2}$ an.

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - 7 ({(- 1)}^{2} {(\frac{7}{2})}^{2})$

Schritt 3.2.1.2.2

Wende die Produktregel auf $\frac{7}{2}$ an.

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - 7 ({(- 1)}^{2} (\frac{7^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 3.2.1.3

Potenziere $- 1$ mit $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - 7 (1 (\frac{7^{2}}{2^{2}}))$

Schritt 3.2.1.4

Mutltipliziere $\frac{7^{2}}{2^{2}}$ mit $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - 7 \frac{7^{2}}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.5

Potenziere $7$ mit $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - 7 \frac{49}{2^{2}}$

Schritt 3.2.1.6

Potenziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - 7 (\frac{49}{4})$

Schritt 3.2.1.7

Multipliziere $- 7 (\frac{49}{4})$ .

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Schritt 3.2.1.7.1

Kombiniere $- 7$ und $\frac{49}{4}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} + \frac{- 7 \cdot 49}{4}$

Schritt 3.2.1.7.2

Mutltipliziere $- 7$ mit $49$ .

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} + \frac{- 343}{4}$

Schritt 3.2.1.8

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (- \frac{7}{2}) = 100 + \frac{343}{2} - \frac{343}{4}$

Schritt 3.2.2

Ermittle den gemeinsamen Nenner.

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Schritt 3.2.2.1

Schreibe $100$ als einen Bruch mit dem Nenner $1$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{100}{1} + \frac{343}{2} - \frac{343}{4}$

Schritt 3.2.2.2

Mutltipliziere $\frac{100}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{100}{1} \cdot \frac{4}{4} + \frac{343}{2} - \frac{343}{4}$

Schritt 3.2.2.3

Mutltipliziere $\frac{100}{1}$ mit $\frac{4}{4}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{100 \cdot 4}{4} + \frac{343}{2} - \frac{343}{4}$

Schritt 3.2.2.4

Mutltipliziere $\frac{343}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{100 \cdot 4}{4} + \frac{343}{2} \cdot \frac{2}{2} - \frac{343}{4}$

Schritt 3.2.2.5

Mutltipliziere $\frac{343}{2}$ mit $\frac{2}{2}$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{100 \cdot 4}{4} + \frac{343 \cdot 2}{2 \cdot 2} - \frac{343}{4}$

Schritt 3.2.2.6

Mutltipliziere $2$ mit $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{100 \cdot 4}{4} + \frac{343 \cdot 2}{4} - \frac{343}{4}$

Schritt 3.2.3

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{100 \cdot 4 + 343 \cdot 2 - 343}{4}$

Schritt 3.2.4

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 3.2.4.1

Mutltipliziere $100$ mit $4$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{400 + 343 \cdot 2 - 343}{4}$

Schritt 3.2.4.2

Mutltipliziere $343$ mit $2$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{400 + 686 - 343}{4}$

Schritt 3.2.5

Vereinfache durch Addieren und Subtrahieren.

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Schritt 3.2.5.1

Addiere $400$ und $686$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{1086 - 343}{4}$

Schritt 3.2.5.2

Subtrahiere $343$ von $1086$ .

$f (- \frac{7}{2}) = \frac{743}{4}$

Schritt 3.2.6

Die endgültige Lösung ist $\frac{743}{4}$ .

$\frac{743}{4}$

Schritt 4

Benutze die $x$ - und $y$ -Werte, um zu ermitteln, wo das Maximum auftritt.

$(- \frac{7}{2}, \frac{743}{4})$

Schritt 5