Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175$

Schritt 1

Bestimme die Schnittpunkte mit der x-Achse.

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Schritt 1.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der x-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $y$ ein und löse nach $x$ auf.

$0 = 3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175$

Schritt 1.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 1.2.1

Schreibe die Gleichung als $3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175 = 0$ um.

$3 x^{3} - 7 x^{2} - 75 x + 175 = 0$

Schritt 1.2.2

Faktorisiere die linke Seite der Gleichung.

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Schritt 1.2.2.1

Klammere den größten gemeinsamen Teiler aus jeder Gruppe aus.

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Schritt 1.2.2.1.1

Gruppiere die ersten beiden Terme und die letzten beiden Terme.

$(3 x^{3} - 7 x^{2}) - 75 x + 175 = 0$

Schritt 1.2.2.1.2

Klammere den größten gemeinsamen Teiler (ggT) aus jeder Gruppe aus.

$x^{2} (3 x - 7) - 25 (3 x - 7) = 0$

Schritt 1.2.2.2

Faktorisiere das Polynom durch Ausklammern des größten gemeinsamen Teilers, $3 x - 7$ .

$(3 x - 7) (x^{2} - 25) = 0$

Schritt 1.2.2.3

Schreibe $25$ als $5^{2}$ um.

$(3 x - 7) (x^{2} - 5^{2}) = 0$

Schritt 1.2.2.4

Faktorisiere.

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Schritt 1.2.2.4.1

Da beide Terme perfekte Quadrate sind, faktorisiere durch Anwendung der dritten binomischen Formel, $a^{2} - b^{2} = (a + b) (a - b)$ , mit $a = x$ und $b = 5$ .

$(3 x - 7) ((x + 5) (x - 5)) = 0$

Schritt 1.2.2.4.2

Entferne unnötige Klammern.

$(3 x - 7) (x + 5) (x - 5) = 0$

Schritt 1.2.3

Wenn irgendein einzelner Faktor auf der linken Seite der Gleichung gleich $0$ ist, dann ist der ganze Ausdruck gleich $0$ .

$3 x - 7 = 0$

$x + 5 = 0$

$x - 5 = 0$

Schritt 1.2.4

Setze $3 x - 7$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.1

Setze $3 x - 7$ gleich $0$ .

$3 x - 7 = 0$

Schritt 1.2.4.2

Löse $3 x - 7 = 0$ nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.4.2.1

Addiere $7$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$3 x = 7$

Schritt 1.2.4.2.2

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ und vereinfache.

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Schritt 1.2.4.2.2.1

Teile jeden Ausdruck in $3 x = 7$ durch $3$ .

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2

Vereinfache die linke Seite.

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $3$ .

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Schritt 1.2.4.2.2.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{3 x}{3} = \frac{7}{3}$

Schritt 1.2.4.2.2.2.1.2

Dividiere $x$ durch $1$ .

$x = \frac{7}{3}$

Schritt 1.2.5

Setze $x + 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.5.1

Setze $x + 5$ gleich $0$ .

$x + 5 = 0$

Schritt 1.2.5.2

Subtrahiere $5$ von beiden Seiten der Gleichung.

$x = - 5$

Schritt 1.2.6

Setze $x - 5$ gleich $0$ und löse nach $x$ auf.

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Schritt 1.2.6.1

Setze $x - 5$ gleich $0$ .

$x - 5 = 0$

Schritt 1.2.6.2

Addiere $5$ zu beiden Seiten der Gleichung.

$x = 5$

Schritt 1.2.7

Die endgültige Lösung sind alle Werte, die $(3 x - 7) (x + 5) (x - 5) = 0$ wahr machen.

$x = \frac{7}{3}, - 5, 5$

Schritt 1.3

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{7}{3}, 0), (- 5, 0), (5, 0)$

Schritt 2

Bestimme die Schnittpunkte mit der y-Achse.

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Schritt 2.1

Um den/die Schnittpunkt(e) mit der y-Achse zu bestimmen, setze $0$ für $x$ ein und löse nach $y$ auf.

$y = 3 {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2} - 75 \cdot 0 + 175$

Schritt 2.2

Löse die Gleichung.

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Schritt 2.2.1

Entferne die Klammern.

$y = 3 \cdot 0^{3} - 7 {(0)}^{2} - 75 \cdot 0 + 175$

Schritt 2.2.2

Entferne die Klammern.

$y = 3 \cdot 0^{3} - 7 \cdot 0^{2} - 75 \cdot 0 + 175$

Schritt 2.2.3

Entferne die Klammern.

$y = 3 {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2} - 75 \cdot 0 + 175$

Schritt 2.2.4

Vereinfache $3 {(0)}^{3} - 7 {(0)}^{2} - 75 \cdot 0 + 175$ .

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Schritt 2.2.4.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.2.4.1.1

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 3 \cdot 0 - 7 {(0)}^{2} - 75 \cdot 0 + 175$

Schritt 2.2.4.1.2

Mutltipliziere $3$ mit $0$ .

$y = 0 - 7 {(0)}^{2} - 75 \cdot 0 + 175$

Schritt 2.2.4.1.3

$0$ zu einer beliebigen, positiven Potenz zu erheben ergibt $0$ .

$y = 0 - 7 \cdot 0 - 75 \cdot 0 + 175$

Schritt 2.2.4.1.4

Mutltipliziere $- 7$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 - 75 \cdot 0 + 175$

Schritt 2.2.4.1.5

Mutltipliziere $- 75$ mit $0$ .

$y = 0 + 0 + 0 + 175$

Schritt 2.2.4.2

Vereinfache durch Addieren von Zahlen.

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Schritt 2.2.4.2.1

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 0 + 175$

Schritt 2.2.4.2.2

Addiere $0$ und $0$ .

$y = 0 + 175$

Schritt 2.2.4.2.3

Addiere $0$ und $175$ .

$y = 175$

Schritt 2.3

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse in Punkt-Form.

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 175)$

Schritt 3

Führe die Schnittpunkte auf.

Schnittpunkt(e) mit der x-Achse: $(\frac{7}{3}, 0), (- 5, 0), (5, 0)$

Schnittpunkt(e) mit der y-Achse: $(0, 175)$

Schritt 4