Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

$q = \pm 1$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm 2, \pm 4, \pm 8, \pm 16$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16}{x + 2}$ an mit $x = - 2$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 2$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 2$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$

	$1$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 2$
	$1$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 2$
	$1$	$- 6$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 6)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 2$	$12$
	$1$	$- 6$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 2$	$12$
	$1$	$- 6$	$12$

Schritt 2.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(12)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 24)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 2$	$12$	$- 24$
	$1$	$- 6$	$12$

Schritt 2.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 2$	$12$	$- 24$
	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$

Schritt 2.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 8)$ mit dem Divisor $(- 2)$ und schreibe das Ergebnis von $(16)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 16)$ .

$- 2$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 2$	$12$	$- 24$	$16$
	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$

Schritt 2.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 2$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 2$	$12$	$- 24$	$16$
	$1$	$- 6$	$12$	$- 8$	$0$

Schritt 2.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 6 x^{2} + (12) x - 8$

Schritt 2.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 6 x^{2} + 12 x - 8$

Schritt 3

Da $- 2 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 2$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 2$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16}{x - 4}$ an mit $x = 4$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$

	$1$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$4$
	$1$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$4$
	$1$	$0$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$4$	$0$
	$1$	$0$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$4$	$0$
	$1$	$0$	$0$

Schritt 4.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(0)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(0)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$4$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$

Schritt 4.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$4$	$0$	$0$
	$1$	$0$	$0$	$16$

Schritt 4.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(16)$ mit dem Divisor $(4)$ und schreibe das Ergebnis von $(64)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 16)$ .

$4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$4$	$0$	$0$	$64$
	$1$	$0$	$0$	$16$

Schritt 4.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$4$	$0$	$0$	$64$
	$1$	$0$	$0$	$16$	$48$

Schritt 4.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 0 x^{2} + (0) x + 16 + \frac{48}{x - 4}$

Schritt 4.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 16 + \frac{48}{x - 4}$

Schritt 5

Da $4 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $4$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $4$

Schritt 6

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16}{x + 4}$ an mit $x = - 4$ .

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$

	$1$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$- 4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 4$
	$1$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 4$
	$1$	$- 8$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 8)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(32)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- 4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 4$	$32$
	$1$	$- 8$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 4$	$32$
	$1$	$- 8$	$32$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(32)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 128)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$- 4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 4$	$32$	$- 128$
	$1$	$- 8$	$32$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 4$	$32$	$- 128$
	$1$	$- 8$	$32$	$- 112$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 112)$ mit dem Divisor $(- 4)$ und schreibe das Ergebnis von $(448)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 16)$ .

$- 4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 4$	$32$	$- 128$	$448$
	$1$	$- 8$	$32$	$- 112$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 4$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 4$	$32$	$- 128$	$448$
	$1$	$- 8$	$32$	$- 112$	$432$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 8 x^{2} + (32) x - 112 + \frac{432}{x + 4}$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 8 x^{2} + 32 x - 112 + \frac{432}{x + 4}$

Schritt 7

Da $- 4 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 4$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 4$

Schritt 8

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16}{x - 8}$ an mit $x = 8$ .

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Schritt 8.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$

Schritt 8.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$

	$1$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(8)$ und schreibe das Ergebnis von $(8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$8$
	$1$

Schritt 8.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$8$
	$1$	$4$

Schritt 8.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(8)$ und schreibe das Ergebnis von $(32)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$8$	$32$
	$1$	$4$

Schritt 8.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$8$	$32$
	$1$	$4$	$32$

Schritt 8.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(32)$ mit dem Divisor $(8)$ und schreibe das Ergebnis von $(256)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$8$	$32$	$256$
	$1$	$4$	$32$

Schritt 8.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$8$	$32$	$256$
	$1$	$4$	$32$	$272$

Schritt 8.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(272)$ mit dem Divisor $(8)$ und schreibe das Ergebnis von $(2176)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 16)$ .

$8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$8$	$32$	$256$	$2176$
	$1$	$4$	$32$	$272$

Schritt 8.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$8$	$32$	$256$	$2176$
	$1$	$4$	$32$	$272$	$2160$

Schritt 8.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 4 x^{2} + (32) x + 272 + \frac{2160}{x - 8}$

Schritt 8.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 4 x^{2} + 32 x + 272 + \frac{2160}{x - 8}$

Schritt 9

Da $8 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $8$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $8$

Schritt 10

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16}{x + 8}$ an mit $x = - 8$ .

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Schritt 10.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$

Schritt 10.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$

	$1$

Schritt 10.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 8)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 8)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$- 8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 8$
	$1$

Schritt 10.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 8$
	$1$	$- 12$

Schritt 10.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 12)$ mit dem Divisor $(- 8)$ und schreibe das Ergebnis von $(96)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- 8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 8$	$96$
	$1$	$- 12$

Schritt 10.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 8$	$96$
	$1$	$- 12$	$96$

Schritt 10.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(96)$ mit dem Divisor $(- 8)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 768)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$- 8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 8$	$96$	$- 768$
	$1$	$- 12$	$96$

Schritt 10.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 8$	$96$	$- 768$
	$1$	$- 12$	$96$	$- 752$

Schritt 10.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 752)$ mit dem Divisor $(- 8)$ und schreibe das Ergebnis von $(6016)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 16)$ .

$- 8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 8$	$96$	$- 768$	$6016$
	$1$	$- 12$	$96$	$- 752$

Schritt 10.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 8$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 8$	$96$	$- 768$	$6016$
	$1$	$- 12$	$96$	$- 752$	$6000$

Schritt 10.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 12 x^{2} + (96) x - 752 + \frac{6000}{x + 8}$

Schritt 10.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 12 x^{2} + 96 x - 752 + \frac{6000}{x + 8}$

Schritt 11

Da $- 8 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 8$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 8$

Schritt 12

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16}{x - 16}$ an mit $x = 16$ .

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Schritt 12.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$

Schritt 12.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$

	$1$

Schritt 12.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(16)$ und schreibe das Ergebnis von $(16)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$16$
	$1$

Schritt 12.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$16$
	$1$	$12$

Schritt 12.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(12)$ mit dem Divisor $(16)$ und schreibe das Ergebnis von $(192)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$16$	$192$
	$1$	$12$

Schritt 12.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$16$	$192$
	$1$	$12$	$192$

Schritt 12.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(192)$ mit dem Divisor $(16)$ und schreibe das Ergebnis von $(3072)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$16$	$192$	$3072$
	$1$	$12$	$192$

Schritt 12.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$16$	$192$	$3072$
	$1$	$12$	$192$	$3088$

Schritt 12.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3088)$ mit dem Divisor $(16)$ und schreibe das Ergebnis von $(49408)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 16)$ .

$16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$16$	$192$	$3072$	$49408$
	$1$	$12$	$192$	$3088$

Schritt 12.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$16$	$192$	$3072$	$49408$
	$1$	$12$	$192$	$3088$	$49392$

Schritt 12.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + 12 x^{2} + (192) x + 3088 + \frac{49392}{x - 16}$

Schritt 12.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} + 12 x^{2} + 192 x + 3088 + \frac{49392}{x - 16}$

Schritt 13

Da $16 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $16$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $16$

Schritt 14

Wende die synthetische Division auf $\frac{x^{4} - 4 x^{3} + 16 x - 16}{x + 16}$ an mit $x = - 16$ .

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Schritt 14.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$

Schritt 14.2

Die erste Zahl im Dividenden $(1)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$

	$1$

Schritt 14.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 16)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 16)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 4)$ .

$- 16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 16$
	$1$

Schritt 14.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 16$
	$1$	$- 20$

Schritt 14.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 20)$ mit dem Divisor $(- 16)$ und schreibe das Ergebnis von $(320)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(0)$ .

$- 16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 16$	$320$
	$1$	$- 20$

Schritt 14.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 16$	$320$
	$1$	$- 20$	$320$

Schritt 14.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(320)$ mit dem Divisor $(- 16)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 5120)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(16)$ .

$- 16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 16$	$320$	$- 5120$
	$1$	$- 20$	$320$

Schritt 14.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 16$	$320$	$- 5120$
	$1$	$- 20$	$320$	$- 5104$

Schritt 14.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 5104)$ mit dem Divisor $(- 16)$ und schreibe das Ergebnis von $(81664)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 16)$ .

$- 16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 16$	$320$	$- 5120$	$81664$
	$1$	$- 20$	$320$	$- 5104$

Schritt 14.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 16$	$1$	$- 4$	$0$	$16$	$- 16$
		$- 16$	$320$	$- 5120$	$81664$
	$1$	$- 20$	$320$	$- 5104$	$81648$

Schritt 14.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$1 x^{3} + - 20 x^{2} + (320) x - 5104 + \frac{81648}{x + 16}$

Schritt 14.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$x^{3} - 20 x^{2} + 320 x - 5104 + \frac{81648}{x + 16}$

Schritt 15

Da $- 16 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 16$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 16$

Schritt 16

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranken: $4, 8, 16$

Untere Schranken: $- 2, - 4, - 8, - 16$

Schritt 17