Elementarmathematik Beispiele

$p (x) = 4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 9$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 9, \pm \frac{9}{2}, \pm \frac{9}{4}$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x - 3}$ an mit $x = 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(8)$ .

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$
	$4$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$
	$4$	$20$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(20)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(60)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$	$60$
	$4$	$20$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$	$60$
	$4$	$20$	$53$

Schritt 2.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(53)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(159)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 21)$ .

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$	$60$	$159$
	$4$	$20$	$53$

Schritt 2.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$	$60$	$159$
	$4$	$20$	$53$	$138$

Schritt 2.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(138)$ mit dem Divisor $(3)$ und schreibe das Ergebnis von $(414)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 9)$ .

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$	$60$	$159$	$414$
	$4$	$20$	$53$	$138$

Schritt 2.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$12$	$60$	$159$	$414$
	$4$	$20$	$53$	$138$	$405$

Schritt 2.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{3} + 20 x^{2} + (53) x + 138 + \frac{405}{x - 3}$

Schritt 2.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{3} + 20 x^{2} + 53 x + 138 + \frac{405}{x - 3}$

Schritt 3

Da $3 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $3$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $3$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x + 3}$ an mit $x = - 3$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(8)$ .

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$
	$4$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$
	$4$	$- 4$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$	$12$
	$4$	$- 4$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$	$12$
	$4$	$- 4$	$5$

Schritt 4.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(5)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 15)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 21)$ .

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$	$12$	$- 15$
	$4$	$- 4$	$5$

Schritt 4.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$	$12$	$- 15$
	$4$	$- 4$	$5$	$- 36$

Schritt 4.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 36)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(108)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 9)$ .

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$	$12$	$- 15$	$108$
	$4$	$- 4$	$5$	$- 36$

Schritt 4.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 12$	$12$	$- 15$	$108$
	$4$	$- 4$	$5$	$- 36$	$99$

Schritt 4.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{3} + - 4 x^{2} + (5) x - 36 + \frac{99}{x + 3}$

Schritt 4.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{3} - 4 x^{2} + 5 x - 36 + \frac{99}{x + 3}$

Schritt 5

Da $- 3 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 3$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 3$

Schritt 6

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x - 9}$ an mit $x = 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(9)$ und schreibe das Ergebnis von $(36)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(8)$ .

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$
	$4$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$
	$4$	$44$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(44)$ mit dem Divisor $(9)$ und schreibe das Ergebnis von $(396)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$	$396$
	$4$	$44$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$	$396$
	$4$	$44$	$389$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(389)$ mit dem Divisor $(9)$ und schreibe das Ergebnis von $(3501)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 21)$ .

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$	$396$	$3501$
	$4$	$44$	$389$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$	$396$	$3501$
	$4$	$44$	$389$	$3480$

Schritt 6.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3480)$ mit dem Divisor $(9)$ und schreibe das Ergebnis von $(31320)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 9)$ .

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$	$396$	$3501$	$31320$
	$4$	$44$	$389$	$3480$

Schritt 6.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$36$	$396$	$3501$	$31320$
	$4$	$44$	$389$	$3480$	$31311$

Schritt 6.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{3} + 44 x^{2} + (389) x + 3480 + \frac{31311}{x - 9}$

Schritt 6.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{3} + 44 x^{2} + 389 x + 3480 + \frac{31311}{x - 9}$

Schritt 7

Da $9 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $9$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $9$

Schritt 8

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x + 9}$ an mit $x = - 9$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 8.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

Schritt 8.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(- 9)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 36)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(8)$ .

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$
	$4$

Schritt 8.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$
	$4$	$- 28$

Schritt 8.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 28)$ mit dem Divisor $(- 9)$ und schreibe das Ergebnis von $(252)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$	$252$
	$4$	$- 28$

Schritt 8.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$	$252$
	$4$	$- 28$	$245$

Schritt 8.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(245)$ mit dem Divisor $(- 9)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2205)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 21)$ .

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$	$252$	$- 2205$
	$4$	$- 28$	$245$

Schritt 8.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$	$252$	$- 2205$
	$4$	$- 28$	$245$	$- 2226$

Schritt 8.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 2226)$ mit dem Divisor $(- 9)$ und schreibe das Ergebnis von $(20034)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 9)$ .

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$	$252$	$- 2205$	$20034$
	$4$	$- 28$	$245$	$- 2226$

Schritt 8.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 9$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 36$	$252$	$- 2205$	$20034$
	$4$	$- 28$	$245$	$- 2226$	$20025$

Schritt 8.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{3} + - 28 x^{2} + (245) x - 2226 + \frac{20025}{x + 9}$

Schritt 8.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{3} - 28 x^{2} + 245 x - 2226 + \frac{20025}{x + 9}$

Schritt 9

Da $- 9 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 9$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 9$

Schritt 10

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x - \frac{9}{2}}$ an mit $x = \frac{9}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 10.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

Schritt 10.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

Schritt 10.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(\frac{9}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(8)$ .

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$
	$4$

Schritt 10.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$
	$4$	$26$

Schritt 10.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(26)$ mit dem Divisor $(\frac{9}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(117)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$	$117$
	$4$	$26$

Schritt 10.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$	$117$
	$4$	$26$	$110$

Schritt 10.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(110)$ mit dem Divisor $(\frac{9}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(495)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 21)$ .

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$	$117$	$495$
	$4$	$26$	$110$

Schritt 10.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$	$117$	$495$
	$4$	$26$	$110$	$474$

Schritt 10.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(474)$ mit dem Divisor $(\frac{9}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(2133)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 9)$ .

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$	$117$	$495$	$2133$
	$4$	$26$	$110$	$474$

Schritt 10.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$18$	$117$	$495$	$2133$
	$4$	$26$	$110$	$474$	$2124$

Schritt 10.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{3} + 26 x^{2} + (110) x + 474 + \frac{2124}{x - \frac{9}{2}}$

Schritt 10.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{3} + 26 x^{2} + 110 x + 474 + \frac{4248}{2 x - 9}$

Schritt 11

Da $\frac{9}{2} > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $\frac{9}{2}$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $\frac{9}{2}$

Schritt 12

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x + \frac{9}{2}}$ an mit $x = - \frac{9}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 12.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

Schritt 12.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

Schritt 12.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(- \frac{9}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 18)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(8)$ .

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$
	$4$

Schritt 12.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$
	$4$	$- 10$

Schritt 12.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 10)$ mit dem Divisor $(- \frac{9}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(45)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$	$45$
	$4$	$- 10$

Schritt 12.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$	$45$
	$4$	$- 10$	$38$

Schritt 12.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(38)$ mit dem Divisor $(- \frac{9}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 171)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 21)$ .

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$	$45$	$- 171$
	$4$	$- 10$	$38$

Schritt 12.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$	$45$	$- 171$
	$4$	$- 10$	$38$	$- 192$

Schritt 12.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 192)$ mit dem Divisor $(- \frac{9}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(864)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 9)$ .

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$	$45$	$- 171$	$864$
	$4$	$- 10$	$38$	$- 192$

Schritt 12.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{9}{2}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$- 18$	$45$	$- 171$	$864$
	$4$	$- 10$	$38$	$- 192$	$855$

Schritt 12.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{3} + - 10 x^{2} + (38) x - 192 + \frac{855}{x + \frac{9}{2}}$

Schritt 12.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{3} - 10 x^{2} + 38 x - 192 + \frac{1710}{2 x + 9}$

Schritt 13

Da $- \frac{9}{2} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{9}{2}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{9}{2}$

Schritt 14

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{4} + 8 x^{3} - 7 x^{2} - 21 x - 9}{x - \frac{9}{4}}$ an mit $x = \frac{9}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 14.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

Schritt 14.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$

	$4$

Schritt 14.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(\frac{9}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(9)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(8)$ .

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$
	$4$

Schritt 14.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$
	$4$	$17$

Schritt 14.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(17)$ mit dem Divisor $(\frac{9}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{153}{4})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 7)$ .

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$	$\frac{153}{4}$
	$4$	$17$

Schritt 14.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$	$\frac{153}{4}$
	$4$	$17$	$\frac{125}{4}$

Schritt 14.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(\frac{125}{4})$ mit dem Divisor $(\frac{9}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{1125}{16})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 21)$ .

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$	$\frac{153}{4}$	$\frac{1125}{16}$
	$4$	$17$	$\frac{125}{4}$

Schritt 14.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$	$\frac{153}{4}$	$\frac{1125}{16}$
	$4$	$17$	$\frac{125}{4}$	$\frac{789}{16}$

Schritt 14.9

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(\frac{789}{16})$ mit dem Divisor $(\frac{9}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{7101}{64})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 9)$ .

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$	$\frac{153}{4}$	$\frac{1125}{16}$	$\frac{7101}{64}$
	$4$	$17$	$\frac{125}{4}$	$\frac{789}{16}$

Schritt 14.10

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{9}{4}$	$4$	$8$	$- 7$	$- 21$	$- 9$
		$9$	$\frac{153}{4}$	$\frac{1125}{16}$	$\frac{7101}{64}$
	$4$	$17$	$\frac{125}{4}$	$\frac{789}{16}$	$\frac{6525}{64}$

Schritt 14.11

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{3} + 17 x^{2} + (\frac{125}{4}) x + \frac{789}{16} + \frac{\frac{6525}{64}}{x - \frac{9}{4}}$

Schritt 14.12

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{3} + 17 x^{2} + \frac{125 x}{4} + \frac{789}{16} + \frac{6525}{16 (4 x - 9)}$

Schritt 15

Da $\frac{9}{4} > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $\frac{9}{4}$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $\frac{9}{4}$

Schritt 16

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranken: $3, 9, \frac{9}{2}, \frac{9}{4}$

Untere Schranken: $- 3, - 9, - \frac{9}{2}$

Schritt 17