Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 3, \pm 5, \pm 15$

$q = \pm 1, \pm 2, \pm 4$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm \frac{1}{4}, \pm 3, \pm \frac{3}{2}, \pm \frac{3}{4}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}, \pm \frac{5}{4}, \pm 15, \pm \frac{15}{2}, \pm \frac{15}{4}$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 1}$ an mit $x = - 1$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$
	$4$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$
	$4$	$- 16$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 16)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(16)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$
	$4$	$- 16$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$
	$4$	$- 16$	$15$

Schritt 2.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(15)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 15)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$	$- 15$
	$4$	$- 16$	$15$

Schritt 2.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 4$	$16$	$- 15$
	$4$	$- 16$	$15$	$0$

Schritt 2.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + - 16 x + 15$

Schritt 2.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{2} - 16 x + 15$

Schritt 3

Da $- 1 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 1$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 1$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 3}$ an mit $x = - 3$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 12)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$
	$4$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$
	$4$	$- 24$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 24)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(72)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$
	$4$	$- 24$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$
	$4$	$- 24$	$71$

Schritt 4.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(71)$ mit dem Divisor $(- 3)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 213)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$	$- 213$
	$4$	$- 24$	$71$

Schritt 4.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 3$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 12$	$72$	$- 213$
	$4$	$- 24$	$71$	$- 198$

Schritt 4.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + - 24 x + 71 + \frac{- 198}{x + 3}$

Schritt 4.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{2} - 24 x + 71 - \frac{198}{x + 3}$

Schritt 5

Da $- 3 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 3$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 3$

Schritt 6

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{3}{2}}$ an mit $x = - \frac{3}{2}$ .

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(- \frac{3}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 6)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$
	$4$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$
	$4$	$- 18$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 18)$ mit dem Divisor $(- \frac{3}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(27)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$
	$4$	$- 18$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$
	$4$	$- 18$	$26$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(26)$ mit dem Divisor $(- \frac{3}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 39)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$	$- 39$
	$4$	$- 18$	$26$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{3}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 6$	$27$	$- 39$
	$4$	$- 18$	$26$	$- 24$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + - 18 x + 26 + \frac{- 24}{x + \frac{3}{2}}$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{2} - 18 x + 26 - \frac{48}{2 x + 3}$

Schritt 7

Da $- \frac{3}{2} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{3}{2}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{3}{2}$

Schritt 8

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - 5}$ an mit $x = 5$ .

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Schritt 8.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Schritt 8.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(20)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$
	$4$

Schritt 8.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$
	$4$	$8$

Schritt 8.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(8)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(40)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$
	$4$	$8$

Schritt 8.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$
	$4$	$8$	$39$

Schritt 8.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(39)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(195)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$	$195$
	$4$	$8$	$39$

Schritt 8.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$20$	$40$	$195$
	$4$	$8$	$39$	$210$

Schritt 8.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + 8 x + 39 + \frac{210}{x - 5}$

Schritt 9

Da $5 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $5$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $5$

Schritt 10

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 5}$ an mit $x = - 5$ .

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Schritt 10.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Schritt 10.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Schritt 10.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 20)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$
	$4$

Schritt 10.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$
	$4$	$- 32$

Schritt 10.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 32)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(160)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$
	$4$	$- 32$

Schritt 10.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$
	$4$	$- 32$	$159$

Schritt 10.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(159)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 795)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$	$- 795$
	$4$	$- 32$	$159$

Schritt 10.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 20$	$160$	$- 795$
	$4$	$- 32$	$159$	$- 780$

Schritt 10.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + - 32 x + 159 + \frac{- 780}{x + 5}$

Schritt 10.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{2} - 32 x + 159 - \frac{780}{x + 5}$

Schritt 11

Da $- 5 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 5$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 5$

Schritt 12

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{5}{2}}$ an mit $x = - \frac{5}{2}$ .

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Schritt 12.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Schritt 12.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Schritt 12.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(- \frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 10)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$
	$4$

Schritt 12.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$
	$4$	$- 22$

Schritt 12.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 22)$ mit dem Divisor $(- \frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(55)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$
	$4$	$- 22$

Schritt 12.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$
	$4$	$- 22$	$54$

Schritt 12.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(54)$ mit dem Divisor $(- \frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 135)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$	$- 135$
	$4$	$- 22$	$54$

Schritt 12.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{5}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 10$	$55$	$- 135$
	$4$	$- 22$	$54$	$- 120$

Schritt 12.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + - 22 x + 54 + \frac{- 120}{x + \frac{5}{2}}$

Schritt 12.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{2} - 22 x + 54 - \frac{240}{2 x + 5}$

Schritt 13

Da $- \frac{5}{2} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{5}{2}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{5}{2}$

Schritt 14

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{5}{4}}$ an mit $x = - \frac{5}{4}$ .

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Schritt 14.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Schritt 14.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Schritt 14.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(- \frac{5}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$
	$4$

Schritt 14.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$
	$4$	$- 17$

Schritt 14.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 17)$ mit dem Divisor $(- \frac{5}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{85}{4})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$
	$4$	$- 17$

Schritt 14.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$

Schritt 14.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(\frac{81}{4})$ mit dem Divisor $(- \frac{5}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(- \frac{405}{16})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$	$- \frac{405}{16}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$

Schritt 14.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{5}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 5$	$\frac{85}{4}$	$- \frac{405}{16}$
	$4$	$- 17$	$\frac{81}{4}$	$- \frac{165}{16}$

Schritt 14.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + - 17 x + \frac{81}{4} + \frac{- \frac{165}{16}}{x + \frac{5}{4}}$

Schritt 14.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{2} - 17 x + \frac{81}{4} - \frac{165}{4 (4 x + 5)}$

Schritt 15

Da $- \frac{5}{4} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{5}{4}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{5}{4}$

Schritt 16

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - 15}$ an mit $x = 15$ .

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Schritt 16.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Schritt 16.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Schritt 16.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(15)$ und schreibe das Ergebnis von $(60)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$
	$4$

Schritt 16.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$
	$4$	$48$

Schritt 16.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(48)$ mit dem Divisor $(15)$ und schreibe das Ergebnis von $(720)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$
	$4$	$48$

Schritt 16.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$
	$4$	$48$	$719$

Schritt 16.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(719)$ mit dem Divisor $(15)$ und schreibe das Ergebnis von $(10785)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$	$10785$
	$4$	$48$	$719$

Schritt 16.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$60$	$720$	$10785$
	$4$	$48$	$719$	$10800$

Schritt 16.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + 48 x + 719 + \frac{10800}{x - 15}$

Schritt 17

Da $15 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $15$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $15$

Schritt 18

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + 15}$ an mit $x = - 15$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 18.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Schritt 18.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Schritt 18.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(- 15)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 60)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$
	$4$

Schritt 18.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$
	$4$	$- 72$

Schritt 18.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 72)$ mit dem Divisor $(- 15)$ und schreibe das Ergebnis von $(1080)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$
	$4$	$- 72$

Schritt 18.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$
	$4$	$- 72$	$1079$

Schritt 18.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1079)$ mit dem Divisor $(- 15)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 16185)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$	$- 16185$
	$4$	$- 72$	$1079$

Schritt 18.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 15$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 60$	$1080$	$- 16185$
	$4$	$- 72$	$1079$	$- 16170$

Schritt 18.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + - 72 x + 1079 + \frac{- 16170}{x + 15}$

Schritt 18.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{2} - 72 x + 1079 - \frac{16170}{x + 15}$

Schritt 19

Da $- 15 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 15$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 15$

Schritt 20

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - \frac{15}{2}}$ an mit $x = \frac{15}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 20.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Schritt 20.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Schritt 20.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(\frac{15}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(30)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$
	$4$

Schritt 20.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$
	$4$	$18$

Schritt 20.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(18)$ mit dem Divisor $(\frac{15}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(135)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$
	$4$	$18$

Schritt 20.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$
	$4$	$18$	$134$

Schritt 20.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(134)$ mit dem Divisor $(\frac{15}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(1005)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$	$1005$
	$4$	$18$	$134$

Schritt 20.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$30$	$135$	$1005$
	$4$	$18$	$134$	$1020$

Schritt 20.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + 18 x + 134 + \frac{1020}{x - \frac{15}{2}}$

Schritt 20.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{2} + 18 x + 134 + \frac{2040}{2 x - 15}$

Schritt 21

Da $\frac{15}{2} > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $\frac{15}{2}$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $\frac{15}{2}$

Schritt 22

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{15}{2}}$ an mit $x = - \frac{15}{2}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 22.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Schritt 22.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Schritt 22.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(- \frac{15}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 30)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$
	$4$

Schritt 22.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$
	$4$	$- 42$

Schritt 22.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 42)$ mit dem Divisor $(- \frac{15}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(315)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$
	$4$	$- 42$

Schritt 22.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$
	$4$	$- 42$	$314$

Schritt 22.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(314)$ mit dem Divisor $(- \frac{15}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2355)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$	$- 2355$
	$4$	$- 42$	$314$

Schritt 22.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{15}{2}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 30$	$315$	$- 2355$
	$4$	$- 42$	$314$	$- 2340$

Schritt 22.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + - 42 x + 314 + \frac{- 2340}{x + \frac{15}{2}}$

Schritt 22.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{2} - 42 x + 314 - \frac{4680}{2 x + 15}$

Schritt 23

Da $- \frac{15}{2} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{15}{2}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{15}{2}$

Schritt 24

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x - \frac{15}{4}}$ an mit $x = \frac{15}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 24.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Schritt 24.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Schritt 24.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(\frac{15}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(15)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$
	$4$

Schritt 24.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$
	$4$	$3$

Schritt 24.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(\frac{15}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{45}{4})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$
	$4$	$3$

Schritt 24.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$

Schritt 24.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(\frac{41}{4})$ mit dem Divisor $(\frac{15}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{615}{16})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$	$\frac{615}{16}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$

Schritt 24.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$15$	$\frac{45}{4}$	$\frac{615}{16}$
	$4$	$3$	$\frac{41}{4}$	$\frac{855}{16}$

Schritt 24.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + 3 x + \frac{41}{4} + \frac{\frac{855}{16}}{x - \frac{15}{4}}$

Schritt 24.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{2} + 3 x + \frac{41}{4} + \frac{855}{4 (4 x - 15)}$

Schritt 25

Da $\frac{15}{4} > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $\frac{15}{4}$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $\frac{15}{4}$

Schritt 26

Wende die synthetische Division auf $\frac{4 x^{3} - 12 x^{2} - x + 15}{x + \frac{15}{4}}$ an mit $x = - \frac{15}{4}$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 26.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

Schritt 26.2

Die erste Zahl im Dividenden $(4)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$

	$4$

Schritt 26.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(4)$ mit dem Divisor $(- \frac{15}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 15)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 12)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$
	$4$

Schritt 26.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$
	$4$	$- 27$

Schritt 26.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 27)$ mit dem Divisor $(- \frac{15}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{405}{4})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 1)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$
	$4$	$- 27$

Schritt 26.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$

Schritt 26.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(\frac{401}{4})$ mit dem Divisor $(- \frac{15}{4})$ und schreibe das Ergebnis von $(- \frac{6015}{16})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(15)$ .

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$	$- \frac{6015}{16}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$

Schritt 26.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{15}{4}$	$4$	$- 12$	$- 1$	$15$
		$- 15$	$\frac{405}{4}$	$- \frac{6015}{16}$
	$4$	$- 27$	$\frac{401}{4}$	$- \frac{5775}{16}$

Schritt 26.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$4 x^{2} + - 27 x + \frac{401}{4} + \frac{- \frac{5775}{16}}{x + \frac{15}{4}}$

Schritt 26.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$4 x^{2} - 27 x + \frac{401}{4} - \frac{5775}{4 (4 x + 15)}$

Schritt 27

Da $- \frac{15}{4} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{15}{4}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{15}{4}$

Schritt 28

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranken: $5, 15, \frac{15}{2}, \frac{15}{4}$

Untere Schranken: $- 1, - 3, - \frac{3}{2}, - 5, - \frac{5}{2}, - \frac{5}{4}, - 15, - \frac{15}{2}, - \frac{15}{4}$

Schritt 29