Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = 2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5$

Schritt 1

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ .

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Schritt 1.1

Wenn eine Polynomfunktion ganzzahlige Koeffizienten hat, dann hat jede rationale Nullstelle die Form $\frac{p}{q}$ , wobei $p$ ein Teiler der Konstanten und $q$ ein Teiler des Leitkoeffizienten ist.

$p = \pm 1, \pm 5$

$q = \pm 1, \pm 2$

Schritt 1.2

Ermittle jede Kombination von $\pm \frac{p}{q}$ . Dies sind die möglichen Wurzeln der Polynomfunktion.

$\pm 1, \pm \frac{1}{2}, \pm 5, \pm \frac{5}{2}$

Schritt 2

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + 1}$ an mit $x = - 1$ .

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Schritt 2.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Schritt 2.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Schritt 2.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 2)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2)$ .

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$
	$2$

Schritt 2.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$
	$2$	$- 4$

Schritt 2.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 4)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(4)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$
	$2$	$- 4$

Schritt 2.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$
	$2$	$- 4$	$1$

Schritt 2.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(1)$ mit dem Divisor $(- 1)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 1)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$	$- 1$
	$2$	$- 4$	$1$

Schritt 2.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 1$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 2$	$4$	$- 1$
	$2$	$- 4$	$1$	$- 6$

Schritt 2.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + - 4 x + 1 + \frac{- 6}{x + 1}$

Schritt 2.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{2} - 4 x + 1 - \frac{6}{x + 1}$

Schritt 3

Da $- 1 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 1$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 1$

Schritt 4

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x - 5}$ an mit $x = 5$ .

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Schritt 4.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Schritt 4.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Schritt 4.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(10)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2)$ .

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$
	$2$

Schritt 4.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$
	$2$	$8$

Schritt 4.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(8)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(40)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$
	$2$	$8$

Schritt 4.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$
	$2$	$8$	$37$

Schritt 4.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(37)$ mit dem Divisor $(5)$ und schreibe das Ergebnis von $(185)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$	$185$
	$2$	$8$	$37$

Schritt 4.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$10$	$40$	$185$
	$2$	$8$	$37$	$180$

Schritt 4.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + 8 x + 37 + \frac{180}{x - 5}$

Schritt 5

Da $5 > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $5$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $5$

Schritt 6

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + 5}$ an mit $x = - 5$ .

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Schritt 6.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Schritt 6.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Schritt 6.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 10)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2)$ .

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$
	$2$

Schritt 6.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$
	$2$	$- 12$

Schritt 6.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 12)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(60)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$
	$2$	$- 12$

Schritt 6.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$
	$2$	$- 12$	$57$

Schritt 6.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(57)$ mit dem Divisor $(- 5)$ und schreibe das Ergebnis von $(- 285)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$	$- 285$
	$2$	$- 12$	$57$

Schritt 6.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- 5$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 10$	$60$	$- 285$
	$2$	$- 12$	$57$	$- 290$

Schritt 6.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + - 12 x + 57 + \frac{- 290}{x + 5}$

Schritt 6.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{2} - 12 x + 57 - \frac{290}{x + 5}$

Schritt 7

Da $- 5 < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- 5$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- 5$

Schritt 8

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x - \frac{5}{2}}$ an mit $x = \frac{5}{2}$ .

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Schritt 8.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Schritt 8.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Schritt 8.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(\frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$
	$2$

Schritt 8.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$
	$2$	$3$

Schritt 8.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(3)$ mit dem Divisor $(\frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{15}{2})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$
	$2$	$3$

Schritt 8.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$

Schritt 8.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(\frac{9}{2})$ mit dem Divisor $(\frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{45}{4})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$	$\frac{45}{4}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$

Schritt 8.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$\frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$5$	$\frac{15}{2}$	$\frac{45}{4}$
	$2$	$3$	$\frac{9}{2}$	$\frac{25}{4}$

Schritt 8.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + 3 x + \frac{9}{2} + \frac{\frac{25}{4}}{x - \frac{5}{2}}$

Schritt 8.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{2} + 3 x + \frac{9}{2} + \frac{25}{2 (2 x - 5)}$

Schritt 9

Da $\frac{5}{2} > 0$ und alle Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division positiv sind, ist $\frac{5}{2}$ eine obere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Obere Schranke: $\frac{5}{2}$

Schritt 10

Wende die synthetische Division auf $\frac{2 x^{3} - 2 x^{2} - 3 x - 5}{x + \frac{5}{2}}$ an mit $x = - \frac{5}{2}$ .

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Schritt 10.1

Ordne die Zahlen, die den Divisor und den Dividenden darstellen, ähnlich wie in einer Division an.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

Schritt 10.2

Die erste Zahl im Dividenden $(2)$ wird an die erste Position des Ergebnisbereichs gestellt (unterhalb der horizontalen Linie).

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$

	$2$

Schritt 10.3

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(2)$ mit dem Divisor $(- \frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- 5)$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 2)$ .

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$
	$2$

Schritt 10.4

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$
	$2$	$- 7$

Schritt 10.5

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(- 7)$ mit dem Divisor $(- \frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(\frac{35}{2})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 3)$ .

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$- 7$

Schritt 10.6

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$

Schritt 10.7

Multipliziere den neuesten Eintrag im Ergebnis $(\frac{29}{2})$ mit dem Divisor $(- \frac{5}{2})$ und schreibe das Ergebnis von $(- \frac{145}{4})$ unter den nächsten Term im Dividenden $(- 5)$ .

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$	$- \frac{145}{4}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$

Schritt 10.8

Addiere das Ergebnis der Multiplikation und die Zahl aus dem Dividenden und notiere das Ergebnis in der nächsten Position der Ergebniszeile.

$- \frac{5}{2}$	$2$	$- 2$	$- 3$	$- 5$
		$- 5$	$\frac{35}{2}$	$- \frac{145}{4}$
	$2$	$- 7$	$\frac{29}{2}$	$- \frac{165}{4}$

Schritt 10.9

Alle Zahlen außer der letzten werden Koeffizienten des Quotients der Polynome. Der letzte Wert in der Ergebniszeile ist der Rest.

$2 x^{2} + - 7 x + \frac{29}{2} + \frac{- \frac{165}{4}}{x + \frac{5}{2}}$

Schritt 10.10

Vereinfache das Quotientenpolynom.

$2 x^{2} - 7 x + \frac{29}{2} - \frac{165}{2 (2 x + 5)}$

Schritt 11

Da $- \frac{5}{2} < 0$ und die Vorzeichen in der unteren Zeile der synthetischen Division alternieren, ist $- \frac{5}{2}$ eine untere Schranke für die reellen Wurzeln der Funktion.

Untere Schranke: $- \frac{5}{2}$

Schritt 12

Bestimme die oberen und unteren Grenzen.

Obere Schranken: $5, \frac{5}{2}$

Untere Schranken: $- 1, - 5, - \frac{5}{2}$

Schritt 13