Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{1}{2} x^{2} + 4 x$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot {(x + h)}^{2} + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot ((x + h) (x + h)) + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x (x + h) + h (x + h)) + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h (x + h)) + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = \frac{1}{2} \cdot (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{1}{2} x^{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.5

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.5.1

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $x^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 h x) + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.5.2

Kürze den gemeinsamen Faktor von $2$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.1.2.1.5.2.1

Faktorisiere $2$ aus $2 h x$ heraus.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.5.2.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + \frac{1}{2} \cdot (2 (h x)) + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.5.2.3

Forme den Ausdruck um.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{1}{2} h^{2} + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.5.3

Kombiniere $\frac{1}{2}$ und $h^{2}$ .

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 (x + h)$

Schritt 2.1.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 x + 4 h$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 x + 4 h$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 x + 4 h$

Schritt 2.2

Stelle um.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 2.2.1

Bewege $4 x$ .

$\frac{x^{2}}{2} + h x + \frac{h^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

Schritt 2.2.2

Bewege $\frac{x^{2}}{2}$ .

$h x + \frac{h^{2}}{2} + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

Schritt 2.2.3

Stelle $h x$ und $\frac{h^{2}}{2}$ um.

$\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

$f (x + h) = \frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x$

$f (x) = \frac{x^{2}}{2} + 4 x$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x - (\frac{x^{2}}{2} + 4 x)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x - \frac{x^{2}}{2} - (4 x)}{h}$

Schritt 4.1.2

Mutltipliziere $4$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + \frac{x^{2}}{2} + 4 h + 4 x - \frac{x^{2}}{2} - 4 x}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $\frac{x^{2}}{2}$ von $\frac{x^{2}}{2}$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h + 4 x + 0 - 4 x}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $\frac{h^{2}}{2}$ und $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h + 4 x - 4 x}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $4 x$ von $4 x$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h + 0}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h$ und $0$ .

$\frac{\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h}{h}$

Schritt 4.1.7

Faktorisiere $h$ aus $\frac{h^{2}}{2} + h x + 4 h$ heraus.

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.1.7.1

Faktorisiere $h$ aus $\frac{h^{2}}{2}$ heraus.

$\frac{h \frac{h}{2} + h x + 4 h}{h}$

Schritt 4.1.7.2

Faktorisiere $h$ aus $h x$ heraus.

$\frac{h (\frac{h}{2}) + h (x) + 4 h}{h}$

Schritt 4.1.7.3

Faktorisiere $h$ aus $4 h$ heraus.

$\frac{h (\frac{h}{2}) + h (x) + h \cdot 4}{h}$

Schritt 4.1.7.4

Faktorisiere $h$ aus $h (\frac{h}{2}) + h (x)$ heraus.

$\frac{h (\frac{h}{2} + x) + h \cdot 4}{h}$

Schritt 4.1.7.5

Faktorisiere $h$ aus $h (\frac{h}{2} + x) + h \cdot 4$ heraus.

$\frac{h (\frac{h}{2} + x + 4)}{h}$

Schritt 4.1.8

Um $x$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + x \cdot \frac{2}{2} + 4)}{h}$

Schritt 4.1.9

Kombiniere $x$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h}{2} + \frac{x \cdot 2}{2} + 4)}{h}$

Schritt 4.1.10

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{h (\frac{h + x \cdot 2}{2} + 4)}{h}$

Schritt 4.1.11

Bringe $2$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{h (\frac{h + 2 x}{2} + 4)}{h}$

Schritt 4.1.12

Um $4$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h + 2 x}{2} + 4 \cdot \frac{2}{2})}{h}$

Schritt 4.1.13

Kombiniere $4$ und $\frac{2}{2}$ .

$\frac{h (\frac{h + 2 x}{2} + \frac{4 \cdot 2}{2})}{h}$

Schritt 4.1.14

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{h \frac{h + 2 x + 4 \cdot 2}{2}}{h}$

Schritt 4.1.15

Mutltipliziere $4$ mit $2$ .

$\frac{h \frac{h + 2 x + 8}{2}}{h}$

Schritt 4.2

Kombiniere $h$ und $\frac{h + 2 x + 8}{2}$ .

$\frac{\frac{h (h + 2 x + 8)}{2}}{h}$

Schritt 4.3

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{h (h + 2 x + 8)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.4

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

Tippen, um mehr Schritte zu sehen ...

Schritt 4.4.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (h + 2 x + 8)}{2} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.4.2

Forme den Ausdruck um.

$\frac{h + 2 x + 8}{2}$

Schritt 5