Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{4 x - 2}{3 x}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{4 (x + h) - 2}{3 (x + h)}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 2.1.2.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (x + h) - 2$ heraus.

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Schritt 2.1.2.1.1.1

Faktorisiere $2$ aus $4 (x + h)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) - 2}{3 (x + h)}$

Schritt 2.1.2.1.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2$ heraus.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h)) + 2 (- 1)}{3 (x + h)}$

Schritt 2.1.2.1.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 (x + h)) + 2 (- 1)$ heraus.

$f (x + h) = \frac{2 (2 (x + h) - 1)}{3 (x + h)}$

Schritt 2.1.2.1.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ .

$\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$

$f (x + h) = \frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$

$f (x) = \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} - (\frac{2 (2 x - 1)}{3 x})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)} \cdot \frac{x}{x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $3 (x + h) x$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 (2 x + 2 h - 1)}{3 (x + h)}$ mit $\frac{x}{x}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 (x + h) x} - \frac{2 (2 x - 1)}{3 x} \cdot \frac{x + h}{x + h}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{2 (2 x - 1)}{3 x}$ mit $\frac{x + h}{x + h}$ .

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 (x + h) x} - \frac{2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $3 (x + h) x$ um.

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x}{3 x (x + h)} - \frac{2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x + 2 h - 1) x - 2 (2 x - 1) (x + h)$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (2 x + 2 h - 1) x$ heraus.

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x) - 2 (2 x - 1) (x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (2 x - 1) (x + h)$ heraus.

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x) + 2 (- (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 ((2 x + 2 h - 1) x) + 2 (- (2 x - 1) (x + h))$ heraus.

$\frac{\frac{2 ((2 x + 2 h - 1) x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 (2 x \cdot x + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.3.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.3.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 (x \cdot x) + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - 1 x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.2

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - (2 x - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- (2 x) - - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- 2 x - - 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x + (- 2 x + 1) (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Multipliziere $(- 2 x + 1) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.7.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x (x + h) + 1 (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x \cdot x - 2 x h + 1 (x + h))}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x \cdot x - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.8.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.8.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 (x \cdot x) - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + 1 x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + x + 1 h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8.3

Mutltipliziere $h$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 (2 x^{2} + 2 h x - x - 2 x^{2} - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9

Subtrahiere $2 x^{2}$ von $2 x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (2 h x - x + 0 - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10

Addiere $2 h x$ und $0$ .

$\frac{\frac{2 (2 h x - x - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.11

Subtrahiere $2 x h$ von $2 h x$ .

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Schritt 4.1.5.11.1

Bewege $h$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 2 x h - 2 x h + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.11.2

Subtrahiere $2 x h$ von $2 x h$ .

$\frac{\frac{2 (- x + 0 + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12

Addiere $- x$ und $0$ .

$\frac{\frac{2 (- x + x + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.13

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{\frac{2 (0 + h)}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.1.5.14

Addiere $0$ und $h$ .

$\frac{\frac{2 h}{3 x (x + h)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$\frac{2 h}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Faktorisiere $h$ aus $2 h$ heraus.

$\frac{h \cdot 2}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot 2}{3 x (x + h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Forme den Ausdruck um.

$\frac{2}{3 x (x + h)}$

Schritt 5