Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = a x^{2} + c x + d$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = a {(x + h)}^{2} + c (x + h) + d$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.1

Schreibe ${(x + h)}^{2}$ als $(x + h) (x + h)$ um.

$f (x + h) = a ((x + h) (x + h)) + c (x + h) + d$

Schritt 2.1.2.1.2

Multipliziere $(x + h) (x + h)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 2.1.2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = a (x (x + h) + h (x + h)) + c (x + h) + d$

Schritt 2.1.2.1.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = a (x \cdot x + x h + h (x + h)) + c (x + h) + d$

Schritt 2.1.2.1.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = a (x \cdot x + x h + h x + h \cdot h) + c (x + h) + d$

Schritt 2.1.2.1.3

Vereinfache und fasse gleichartige Terme zusammen.

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Schritt 2.1.2.1.3.1

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 2.1.2.1.3.1.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + x h + h x + h \cdot h) + c (x + h) + d$

Schritt 2.1.2.1.3.1.2

Mutltipliziere $h$ mit $h$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + x h + h x + h^{2}) + c (x + h) + d$

Schritt 2.1.2.1.3.2

Addiere $x h$ und $h x$ .

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Schritt 2.1.2.1.3.2.1

Stelle $x$ und $h$ um.

$f (x + h) = a (x^{2} + h x + h x + h^{2}) + c (x + h) + d$

Schritt 2.1.2.1.3.2.2

Addiere $h x$ und $h x$ .

$f (x + h) = a (x^{2} + 2 h x + h^{2}) + c (x + h) + d$

Schritt 2.1.2.1.4

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = a x^{2} + a (2 h x) + a h^{2} + c (x + h) + d$

Schritt 2.1.2.1.5

Schreibe neu unter Anwendung des Kommutativgesetzes der Multiplikation.

$f (x + h) = a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + c (x + h) + d$

Schritt 2.1.2.1.6

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + c x + c h + d$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + c x + c h + d$ .

$a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + c x + c h + d$

Schritt 2.2

Stelle um.

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Schritt 2.2.1

Bewege $c x$ .

$a x^{2} + 2 a h x + a h^{2} + c h + c x + d$

Schritt 2.2.2

Bewege $a x^{2}$ .

$2 a h x + a h^{2} + a x^{2} + c h + c x + d$

Schritt 2.2.3

Stelle $2 a h x$ und $a h^{2}$ um.

$a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + c h + c x + d$

Schritt 2.3

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + c h + c x + d$

$f (x) = a x^{2} + c x + d$

$f (x + h) = a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + c h + c x + d$

$f (x) = a x^{2} + c x + d$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + c h + c x + d - (a x^{2} + c x + d)}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + c h + c x + d - (a x^{2}) - (c x) - d}{h}$

Schritt 4.1.2

Entferne die Klammern.

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + a x^{2} + c h + c x + d - a x^{2} - c x - d}{h}$

Schritt 4.1.3

Subtrahiere $a x^{2}$ von $a x^{2}$ .

$\frac{a h^{2} + 2 a h x + c h + c x + d + 0 - c x - d}{h}$

Schritt 4.1.4

Addiere $a h^{2}$ und $0$ .

$\frac{2 a h x + c h + c x + d + a h^{2} - c x - d}{h}$

Schritt 4.1.5

Subtrahiere $c x$ von $c x$ .

$\frac{2 a h x + c h + d + a h^{2} + 0 - d}{h}$

Schritt 4.1.6

Addiere $2 a h x$ und $0$ .

$\frac{c h + d + a h^{2} + 2 a h x - d}{h}$

Schritt 4.1.7

Subtrahiere $d$ von $d$ .

$\frac{c h + a h^{2} + 2 a h x + 0}{h}$

Schritt 4.1.8

Addiere $c h + a h^{2} + 2 a h x$ und $0$ .

$\frac{c h + a h^{2} + 2 a h x}{h}$

Schritt 4.1.9

Faktorisiere $h$ aus $c h + a h^{2} + 2 a h x$ heraus.

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Schritt 4.1.9.1

Faktorisiere $h$ aus $c h$ heraus.

$\frac{h c + a h^{2} + 2 a h x}{h}$

Schritt 4.1.9.2

Faktorisiere $h$ aus $a h^{2}$ heraus.

$\frac{h (c) + h (a (h)) + 2 a h x}{h}$

Schritt 4.1.9.3

Faktorisiere $h$ aus $2 a h x$ heraus.

$\frac{h (c) + h (a (h)) + h (2 a x)}{h}$

Schritt 4.1.9.4

Faktorisiere $h$ aus $h (c) + h (a (h))$ heraus.

$\frac{h (c + a (h)) + h (2 a x)}{h}$

Schritt 4.1.9.5

Faktorisiere $h$ aus $h (c + a (h)) + h (2 a x)$ heraus.

$\frac{h (c + a (h) + 2 a x)}{h}$

Schritt 4.2

Vereinfache den Ausdruck durch Kürzen der gemeinsamen Faktoren.

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Schritt 4.2.1

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.2.1.1

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h (c + a (h) + 2 a x)}{h}$

Schritt 4.2.1.2

Dividiere $c + a h + 2 a x$ durch $1$ .

$c + a h + 2 a x$

Schritt 4.2.2

Vereinfache den Ausdruck.

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Schritt 4.2.2.1

Bewege $c$ .

$a h + 2 a x + c$

Schritt 4.2.2.2

Stelle $a h$ und $2 a x$ um.

$2 a x + a h + c$

Schritt 5