Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{- 2}{3 - 5 x}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{- 2}{3 - 5 (x + h)}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{- 2}{3 - 5 x - 5 h}$

Schritt 2.1.2.2

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$f (x + h) = - \frac{2}{3 - 5 x - 5 h}$

Schritt 2.1.2.3

Die endgültige Lösung ist $- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h}$ .

$- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = - \frac{2}{3 - 5 x - 5 h}$

$f (x) = - \frac{2}{3 - 5 x}$

$f (x + h) = - \frac{2}{3 - 5 x - 5 h}$

$f (x) = - \frac{2}{3 - 5 x}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h} - (- \frac{2}{3 - 5 x})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Multipliziere $- - \frac{2}{3 - 5 x}$ .

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Schritt 4.1.1.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h} + 1 \frac{2}{3 - 5 x}}{h}$

Schritt 4.1.1.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3 - 5 x}$ mit $1$ .

$\frac{- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h} + \frac{2}{3 - 5 x}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - 5 x}{3 - 5 x}$ .

$\frac{- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h} \cdot \frac{3 - 5 x}{3 - 5 x} + \frac{2}{3 - 5 x}}{h}$

Schritt 4.1.3

Um $\frac{2}{3 - 5 x}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 - 5 x - 5 h}{3 - 5 x - 5 h}$ .

$\frac{- \frac{2}{3 - 5 x - 5 h} \cdot \frac{3 - 5 x}{3 - 5 x} + \frac{2}{3 - 5 x} \cdot \frac{3 - 5 x - 5 h}{3 - 5 x - 5 h}}{h}$

Schritt 4.1.4

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 - 5 x - 5 h) (3 - 5 x)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.4.1

Mutltipliziere $\frac{2}{3 - 5 x - 5 h}$ mit $\frac{3 - 5 x}{3 - 5 x}$ .

$\frac{- \frac{2 (3 - 5 x)}{(3 - 5 x - 5 h) (3 - 5 x)} + \frac{2}{3 - 5 x} \cdot \frac{3 - 5 x - 5 h}{3 - 5 x - 5 h}}{h}$

Schritt 4.1.4.2

Mutltipliziere $\frac{2}{3 - 5 x}$ mit $\frac{3 - 5 x - 5 h}{3 - 5 x - 5 h}$ .

$\frac{- \frac{2 (3 - 5 x)}{(3 - 5 x - 5 h) (3 - 5 x)} + \frac{2 (3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Schritt 4.1.4.3

Stelle die Faktoren von $(3 - 5 x - 5 h) (3 - 5 x)$ um.

$\frac{- \frac{2 (3 - 5 x)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)} + \frac{2 (3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{- 2 (3 - 5 x) + 2 (3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Schreibe $\frac{- 2 (3 - 5 x) + 2 (3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.6.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (3 - 5 x) + 2 (3 - 5 x - 5 h)$ heraus.

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Schritt 4.1.6.1.1

Faktorisiere $2$ aus $- 2 (3 - 5 x)$ heraus.

$\frac{\frac{2 (- (3 - 5 x)) + 2 (3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.1.2

Faktorisiere $2$ aus $2 (- (3 - 5 x)) + 2 (3 - 5 x - 5 h)$ heraus.

$\frac{\frac{2 (- (3 - 5 x) + 3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 (- 1 \cdot 3 - (- 5 x) + 3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $3$ .

$\frac{\frac{2 (- 3 - (- 5 x) + 3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.4

Mutltipliziere $- 5$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (- 3 + 5 x + 3 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.5

Addiere $- 3$ und $3$ .

$\frac{\frac{2 (5 x + 0 - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.6

Addiere $5 x$ und $0$ .

$\frac{\frac{2 (5 x - 5 x - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.7

Subtrahiere $5 x$ von $5 x$ .

$\frac{\frac{2 (0 - 5 h)}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.8

Subtrahiere $5 h$ von $0$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 5 h}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Schritt 4.1.6.9

Mutltipliziere $2$ mit $- 5$ .

$\frac{\frac{- 10 h}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Schritt 4.1.7

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{10 h}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{10 h}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{10 h}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}$ in den Zähler.

$\frac{- 10 h}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 10 h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 10}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 10}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 10}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{10}{(3 - 5 x) (3 - 5 x - 5 h)}$

Schritt 5