Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{(x + h) - 1}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Entferne die Klammern.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ .

$\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

$f (x + h) = \frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$

$f (x) = \frac{2 x}{x - 1}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} - (\frac{2 x}{x - 1})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{2 x}{x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h)}{x + h - 1} \cdot \frac{x - 1}{x - 1} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(x + h - 1) (x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{2 (x + h)}{x + h - 1}$ mit $\frac{x - 1}{x - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x}{x - 1} \cdot \frac{x + h - 1}{x + h - 1}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{2 x}{x - 1}$ mit $\frac{x + h - 1}{x + h - 1}$ .

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x (x + h - 1)}{(x - 1) (x + h - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(x - 1) (x + h - 1)$ um.

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)} - \frac{2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + h) (x - 1) - 2 x (x + h - 1)$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1.1

Faktorisiere $2$ aus $2 (x + h) (x - 1)$ heraus.

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1)) - 2 x (x + h - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Faktorisiere $2$ aus $- 2 x (x + h - 1)$ heraus.

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1)) + 2 (- x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.3

Faktorisiere $2$ aus $2 ((x + h) (x - 1)) + 2 (- x (x + h - 1))$ heraus.

$\frac{\frac{2 ((x + h) (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Multipliziere $(x + h) (x - 1)$ aus unter Verwendung der FOIL-Methode.

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Schritt 4.1.5.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 (x (x - 1) + h (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 + h (x - 1) - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2.3

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 (x \cdot x + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache jeden Term.

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Schritt 4.1.5.3.1

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} + x \cdot - 1 + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.2

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - 1 \cdot x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.3

Schreibe $- 1 x$ als $- x$ um.

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x + h \cdot - 1 - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.4

Bringe $- 1$ auf die linke Seite von $h$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - 1 \cdot h - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.5

Schreibe $- 1 h$ als $- h$ um.

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x (x + h - 1))}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x \cdot x - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.5.1

Multipliziere $x$ mit $x$ durch Addieren der Exponenten.

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Schritt 4.1.5.5.1.1

Bewege $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - (x \cdot x) - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.1.2

Mutltipliziere $x$ mit $x$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h - x \cdot - 1)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.2

Multipliziere $- x \cdot - 1$ .

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Schritt 4.1.5.5.2.1

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + 1 x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5.2.2

Mutltipliziere $x$ mit $1$ .

$\frac{\frac{2 (x^{2} - x + h x - h - x^{2} - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Subtrahiere $x^{2}$ von $x^{2}$ .

$\frac{\frac{2 (- x + h x - h + 0 - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Addiere $- x$ und $0$ .

$\frac{\frac{2 (- x + h x - h - x h + x)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Addiere $- x$ und $x$ .

$\frac{\frac{2 (h x - h - x h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.9

Addiere $h x - h - x h$ und $0$ .

$\frac{\frac{2 (h x - h - x h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10

Subtrahiere $x h$ von $h x$ .

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Schritt 4.1.5.10.1

Stelle $h$ und $x$ um.

$\frac{\frac{2 (- h + x h - x h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.10.2

Subtrahiere $x h$ von $x h$ .

$\frac{\frac{2 (- h + 0)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.11

Addiere $- h$ und $0$ .

$\frac{\frac{2 \cdot - 1 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12

Kombiniere Exponenten.

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Schritt 4.1.5.12.1

Faktorisiere das negative Vorzeichen heraus.

$\frac{\frac{- (2 h)}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.12.2

Mutltipliziere $2$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{- 2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{2 h}{(x + h - 1) (x - 1)}$ in den Zähler.

$\frac{- 2 h}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 2 h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 2}{(x + h - 1) (x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 2}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{2}{(x + h - 1) (x - 1)}$

Schritt 5