Elementarmathematik Beispiele

$f (x) = \frac{5}{3 x - 1}$

Schritt 1

Ziehe die Differenzenquotient-Formel in Betracht.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h}$

Schritt 2

Bestimme die Komponenten der Definition.

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Schritt 2.1

Berechne die Funktion bei $x = x + h$ .

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Schritt 2.1.1

Ersetze in dem Ausdruck die Variable $x$ durch $x + h$ .

$f (x + h) = \frac{5}{3 (x + h) - 1}$

Schritt 2.1.2

Vereinfache das Ergebnis.

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Schritt 2.1.2.1

Wende das Distributivgesetz an.

$f (x + h) = \frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

Schritt 2.1.2.2

Die endgültige Lösung ist $\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$ .

$\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

Schritt 2.2

Bestimme die Komponenten der Definition.

$f (x + h) = \frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

$f (x) = \frac{5}{3 x - 1}$

$f (x + h) = \frac{5}{3 x + 3 h - 1}$

$f (x) = \frac{5}{3 x - 1}$

Schritt 3

Setze die Komponenten ein.

$\frac{f (x + h) - f (x)}{h} = \frac{\frac{5}{3 x + 3 h - 1} - (\frac{5}{3 x - 1})}{h}$

Schritt 4

Vereinfache.

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Schritt 4.1

Vereinfache den Zähler.

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Schritt 4.1.1

Um $\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{\frac{5}{3 x + 3 h - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} - \frac{5}{3 x - 1}}{h}$

Schritt 4.1.2

Um $- \frac{5}{3 x - 1}$ als Bruch mit einem gemeinsamen Nenner zu schreiben, multipliziere mit $\frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}$ .

$\frac{\frac{5}{3 x + 3 h - 1} \cdot \frac{3 x - 1}{3 x - 1} - \frac{5}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}}{h}$

Schritt 4.1.3

Schreibe jeden Ausdruck mit einem gemeinsamen Nenner von $(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)$ , indem du jeden mit einem entsprechenden Faktor von $1$ multiplizierst.

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Schritt 4.1.3.1

Mutltipliziere $\frac{5}{3 x + 3 h - 1}$ mit $\frac{3 x - 1}{3 x - 1}$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} - \frac{5}{3 x - 1} \cdot \frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}}{h}$

Schritt 4.1.3.2

Mutltipliziere $\frac{5}{3 x - 1}$ mit $\frac{3 x + 3 h - 1}{3 x + 3 h - 1}$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} - \frac{5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x - 1) (3 x + 3 h - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.3.3

Stelle die Faktoren von $(3 x - 1) (3 x + 3 h - 1)$ um.

$\frac{\frac{5 (3 x - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} - \frac{5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.4

Vereinige die Zähler über dem gemeinsamen Nenner.

$\frac{\frac{5 (3 x - 1) - 5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5

Schreibe $\frac{5 (3 x - 1) - 5 (3 x + 3 h - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$ in eine faktorisierte Form um.

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Schritt 4.1.5.1

Faktorisiere $5$ aus $5 (3 x - 1) - 5 (3 x + 3 h - 1)$ heraus.

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Schritt 4.1.5.1.1

Faktorisiere $5$ aus $- 5 (3 x + 3 h - 1)$ heraus.

$\frac{\frac{5 (3 x - 1) + 5 (- (3 x + 3 h - 1))}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.1.2

Faktorisiere $5$ aus $5 (3 x - 1) + 5 (- (3 x + 3 h - 1))$ heraus.

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - (3 x + 3 h - 1))}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.2

Wende das Distributivgesetz an.

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - (3 x) - (3 h) - - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3

Vereinfache.

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Schritt 4.1.5.3.1

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - 3 x - (3 h) - - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.2

Mutltipliziere $3$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - 3 x - 3 h - - 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.3.3

Mutltipliziere $- 1$ mit $- 1$ .

$\frac{\frac{5 (3 x - 1 - 3 x - 3 h + 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.4

Subtrahiere $3 x$ von $3 x$ .

$\frac{\frac{5 (0 - 1 - 3 h + 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.5

Subtrahiere $1$ von $0$ .

$\frac{\frac{5 (- 1 - 3 h + 1)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.6

Addiere $- 1$ und $1$ .

$\frac{\frac{5 (- 3 h + 0)}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.7

Addiere $- 3 h$ und $0$ .

$\frac{\frac{5 \cdot - 3 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.5.8

Mutltipliziere $5$ mit $- 3$ .

$\frac{\frac{- 15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Schritt 4.1.6

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$\frac{- \frac{15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}}{h}$

Schritt 4.2

Multipliziere den Zähler mit dem Kehrwert des Nenners.

$- \frac{15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3

Kürze den gemeinsamen Faktor von $h$ .

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Schritt 4.3.1

Bringe das führende Minuszeichen in $- \frac{15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$ in den Zähler.

$\frac{- 15 h}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.2

Faktorisiere $h$ aus $- 15 h$ heraus.

$\frac{h \cdot - 15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.3

Kürze den gemeinsamen Faktor.

$\frac{h \cdot - 15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)} \cdot \frac{1}{h}$

Schritt 4.3.4

Forme den Ausdruck um.

$\frac{- 15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$

Schritt 4.4

Ziehe das Minuszeichen vor den Bruch.

$- \frac{15}{(3 x + 3 h - 1) (3 x - 1)}$

Schritt 5